O Elegante Teorema de Pappus

O Elegante Teorema de Pappus Pappus de Alexandria (séc IV d.C.) foi um grande matemático grego sucessor de Euclides, Arquimedes (gênio matemático) e Apolônio, sua principal obra é a Coleção Matemática, uma mistura de guia da geometria da época, acompanhada de comentários, com numerosas proposições originais, aprimoramentos, extensões e notas históricas. No livro , aparece uma antecipação do teorema do centróide de P. Guldin  e é com esse teorema que iremos calcular o volume do donut´s do Homer Simpson.  Teorema: Girando-se uma região plana  em torno de um eixo de seu plano, eixo esse que não corta a região, o volume do sólido de revolução assim formado é igual ao produto da área da região pelo comprimento da trajetória descrita pelo centróide da região (Fig. abaixo), ou seja, Demonstração: A seção transversal do sólido de revolução é a região limitada pelas funções  e  no intervalo . Usando o método dos discos, o volume deste sólido o volume desse sólido é   Por outro lado, o centróide da região  é dado por Dessas duas expressões segue o resultado. Exemplo: Usando o teorema de Pappus, achar o centróide de um semicírculo de raio . Resolução: A área do semicírculo é igual a  e o volume do sólido gerado pela rotação de um semi-círculo de raio  é o volume de uma esfera de raio , isto é, . Usando a fórmula acima, segue que . O volume da rosquinha de Homer que aliás é um toro ou câmara de ar fica fácil com a fórmula deduzida acima. Supondo que a seção transversal é um círculo e que  é o raio interno e  é o raio externo da rosquinha, então seu volume é dado por Fonte: http://fatosmatematicos.blogspot.com

O LTF e o Cálculo de Áreas

O LTF e o Cálculo de Áreas     Um dos principais limites fundamentais do Cálculo é o Limite Trigonométrico Fundamental (LTF) que é dado por: Este limite surge no Cálculo quando estudamos a derivada das funções trigonométricas. Historicamente, Galileu Galilei (1564-1642) deduziu erroneamente que este limite seria nulo, mas uma análise no ciclo trigonométrico abaixo mostra que Dividindo por , aplicando o limite nas desigualdades e usando o teorema do sanduiche, obtemos . Com este resultado, podemos calcular facilmente a derivada das funções  e ,mas isto pode ser visto em qualquer livro de Cálculo. Como as funções trigonométricas estão intimimamente relacionadas com a circunferência, vem a pergunta: Será que o LTF está relacionado diretamente com o círculo?  A resposta é positiva, pois é através do LTF que provamos diretamente que área do círculo é dada por . De fato, considere a figura abaixo: Designaremos por  e  as áreas dos polígonos inscritos e circunscritos e por . Da figura acima,  e de modo que a área do triângulo é Por outro lado, sendo , se, segue que Sendo  e usando o fato que , temos: Quando aumentamos indefinidamente o número de lados dos polígonos inscritos e circunscritos, isto é, quando  tende a infinito, o ângulo  tende a zero e através do LTF segue que donde segue o resultado.   Obs. O símbolo  está sendo usado no lugar de "menor que", devido a problemas no editor. Bibliografia: Piskounov N. - Cálculo Diferencial e Integral V. 1. Lopes da Silva Editora, ed. 1978.

Dicas para facilitar Cálculos

Por: Clínica de Matemática

DICA 1: Multiplicar um número por 10:

Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a direita.
Exemplo 1: 16 x 10 = 160
Exemplo 2: 15,567 x 10 = 155,67

DICA 2: Multiplicar um número por 10ⁿ:

Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a direita.
Exemplo 1: 16 x 10³ = 16000
Exemplo 2: 15,567 x 10⁴ = 155670

Então, se quisermos efetuar a seguinte multiplicação: 12 x 100. Sabemos que 100=10², então:
12 x 100 = 12 x 10² = 1200.

DICA 3: Dividir um número por 10:

Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a esquerda.
Exemplo 1: 16 / 10 = 1,6
Exemplo 2: 15,567 / 10 = 1,5567

DICA 4: Dividir um número por 10ⁿ:

Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda.
Exemplo 1: 16 / 10³ = 0,016
Exemplo 2: 15,567 / 10² = 0,15567

Então, se quisermos efetuar a seguinte divisão: 12 / 1000. Sabemos que 1000=10³, então:
12 / 1000 = 12 / 10³ = 0,012.

DICA 5: Multiplicar um número por 11:

Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 algarismos e colocar o resultado no meio deles. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x 11.

Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2+6=8. Pronto! Agora é só colocar esse 8 no meio deles:
a resposta é 286. Portanto 26 x 11 = 286.

Outros exemplos:
1) 34 x 11
somamos os algarismos do número 34: 3+4=7
colocamos o resultado no meio deles: 374. Portanto 34x11 = 374.

2) 81 x 11
somamos os algarismos do número 81: 8+1=9
colocamos o resultado no meio deles: 891. Portanto 81x11 = 891.

3) 37 x 11
somamos os algarismos do número 37: 3+7=10
como deu um nº maior que 9, então não podemos colocar todo o número no meio deles. Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no meio deles, e o algarismo da dezena (1) é somado ao primeiro algarismo do número: 407. Portanto 37x11 = 407.

Quando o número for de 3 algarismos, então esse número multiplicado por 11 resultará em um número de 4 algarismos. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 135 x 11.

Temos o número 135. Somando o 1º com o 2º algarismo desse número temos 1+3=4. Somando o 2º com o 3º algarismo

desse número temos 3+5=8. Esses 2 resultados serão colocados no meio do número 135, tirando o seu algarismo do meio:
1485. Portanto 135 x 11 = 1485.

DICA 6: Multiplicar um número por 9:

Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 9.

Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos com 440.
Então subtraímos desse valor o valor inicial: 440-44 = 396.
Portanto 44 x 9 = 396.

Outros exemplos:
27 x 9 = 270-27 = 243.
56 x 9 = 560-56 = 504.
33 x 9 = 330-33 = 297.


DICA 7: Multiplicar um número por 99:

Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 99.

Acrescentando 2 zeros no final do número 44 ficamos com 4400.
Então subtraímos desse valor o valor inicial: 4400-44 = 4356.
Portanto 44 x 99 = 4356.

Outros exemplos:
27 x 99 = 2700-27 = 2673
56 x 99 = 5600-56 = 5544
33 x 99 = 3300-33 = 3267

DICA 8: Multiplicar um número por 101:

Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 101, o resultado será ABAB. Alguns exemplos:

43 x 101 = 4343
32 x 101 = 3232
14 x 101 = 1414


DICA 9: Multiplicar 2 números (de 2 algarismos) que possuam o mesmo algarismo das dezenas, e a soma de seus algarismos das unidades seja 10.

Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método: 42x48, 53x57, 21x29, 35x35, 87x83, 94x96, etc.
Devem ser seguidos os seguintes passos:
1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número seguinte a ele;
2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente;
3) Juntamos as duas partes.

Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 53 x 57:
Passo 1:
5x6 = 30
Passo 2:
3x7 = 21
Passo 3:
Juntamos os dois números: 3021.
Portanto 53 x 57 = 3021. Barbada!

Outro exemplo: 94 x 96:
Passo 1:
9x10 = 90
Passo 2:
4x6 = 24
Passo 3:
Juntamos os dois números: 9024.
Portanto 94 x 96 = 9024. Barbada!

DICA 10: Soma dos n primeiros números naturais ímpares:

A soma dos n primeiros números naturais ímpares é igual a n². Exemplos:

1) Soma dos 5 primeiros números naturais ímpares (1+3+5+7+9):
A soma é igual a 5² = 25.
2) Soma dos 15 primeiros números naturais ímpares:
A soma é igual a 15² = 225.

Fonte: http://www.mundovestibular.com.br/articles/6377/1/Dicas-para-facilitar-Calculos/Paacutegina1.html 

COMO ESTUDAR A MATEMATICA

 COMO ESTUDAR A MATEMATICA

Para se ter êxito em matemática, é necessário primeiro conhecer bem os teoremas e as formulas.

A resolução dos problemas faz intervir a inteligência, o raciocínio, a intuição, mas estas faculdades nada valem se não conhecer a fundo o “programa”, a matéria teórica de que a parte pratica se alimenta.

Uma vez mais, a memória deve estar a serviço da inteligência, senão esta revela-se impotente.

A GEOMETRIA

Para aprender geometria é necessário em primeiro lugar compreendê-la. Consequentemente, o estudo de qualquer lição pressupõe a compreensão completa da matéria. Se notar lacunas no entendimento da matéria, em geral, não fique constrangido: comece por pegar seu primeiro livro de geometria.

Faça, para seu uso, um caderno de geometria resumindo cada teorema através de uma ou duas figuras e algumas formulas.

Deve conhecer os teoremas o suficiente para reconhecê-los a partir das figuras e a lembrar-se, então, da demonstração respectiva.

Com o apoio deste caderno você pode aplicar o método cumulativo-repetitivo para ter todo o seu programa de memória, as ordens. Assim os problemas serão mais fáceis, você mesmo var verificar isso.

Para resolver um problema de geometria tente o método seguinte:

Faça a lista escrita de tudo o que aparece na figura. Em seguida, em faze da lista, você notará as propriedades que derivam destas primeiras verificações. Rapidamente, a solução do problema aparecerá.

Quer se trate da demonstração de teoremas ou de problemas a resolver, são frequentemente, os mesmos princípios que entram em jogo.

Aprenda bem a colocar em relevo estes princípios.

Deve, por exemplo, demonstrar a igualdade de dois segmentos de reta que pertencem a uma certa figura.

Existem nove probabilidades em dez de que o método a utilizar seja o seguinte:

Vai procurar fazer entrar estes segmentos em dois triângulos e, de seguida demonstrará que tais triângulos são iguais. Sendo os três lados iguais entre si, terá demonstrado a igualdade dos segmentos dados. Do mesmo modo, quando se trate de demonstrar a igualdade de dois triângulos, há fortes hipóteses de que venha a empregar um dos métodos seguintes:

1 – conduzir uma determinada paralela que fará aparecer ângulos alternos-internos ou ângulos correspondentes.

2 – encontrar ou formar ângulos iguais.

Repito: a resolução de problemas é fácil, a partir do momento em que se domina bem a matéria e quando se fizeram os exercícios de aplicação de cada lição.

A ALGEBRA

Aqui, também os problemas são muito fáceis desde se conheça a matéria a fundo.

Há alunos que são maus em álgebra, apenas porque não sabem a base da matéria e desconhecem que os conhecimentos estão relacionados, embora hierarquizados, ordenados e organizados.

Os teoremas sobre frações e as operações sobre as frações algébricas, por exemplo, devem ser absolutamente conhecidos de cor.

Do mesmo modo os famosos “produtos notáveis”:

» (a + b)²
» (a – b)²
» (a + b) . (a – b)

É necessário reconhecer estes produtos quaquer seja a ordem dos fatores:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Mas, é necessário que também os reconheça por exemplo sob a forma:

a² + b² = (a + b)² - 2ab

Aprenda também a reconhece-los quando os elementos não se encontrarem representados por “a” e “b”.

Mais uma vez, aconselho fazer uso de um caderno especial para o estudo da Álgebra que terá tudo o que deve conhecer de cor e que estudará pelo método cumulativo-repetitivo.

O conteúdo deste caderno poderá ser, em síntese, todo o programa da parte teórica, acumulando por exemplo, com alguns enunciados de exercícios em que notou dificuldades mais serias.

Em matemática, o erro corrente é contar-se demasiado com a inteligência e raciocínio, não se importando com a memória.

E que a matemática, apesar de ter apoio principal na inteligência, na intuição, tem de recorrer sempre a conhecimentos anteriores, já adquiridos: ai, precisamente se localiza a necessidade da intervenção da memória.

O CALCULO MENTAL

Um excelente exercício para se habituar a “brincar” com os algarismos é a pratica do calculo mental.

Você não calcula mentalmente com mais freqüência, provavelmente por não ter habito. Existem numerosas operações de calculo mental que poderá dominar completamente e com eficácia.

Em primeiro lugar a adição:

Se deve adicionar 235 + 661, não ponha a adição por escrito.

Faça-a de cabeça. Para tanto, não se torna obrigatório proceder como por escrito, isto é, partindo dos algarismos da direita para a esquerda. É necessário partir da esquerda para a direita assim:

200 + 600 = 800

30 + 60 = 90, 890

5 + 1 = 6,  896

Total: 896

Quando há “transportes” (das unidades para as dezenas, por exemplo) é necessário te-los em conta:

375 + 248

300 + 200 = 500

70 + 40 = 110, 610

5 + 8 = 13

Seja finalmente:

610 + 13 = 623

Alias, vê-se muito rapidamente que os algarismos seguintes vão provocar um transporte e pode-se, diretamente, imputá-los as unidades superiores (que são adicionadas antes).

Exemplo:

562 + 275

Embora nos preparemos para adicionar 500 + 200, vê-se imediatamente que 6 + 7 provocara “transporte”. Calculamos, então, mentalmente da seguinte forma:

500 + 200, 700 + 100, 800

60 + 70, 30 (ao invés de 130)

2 + 5, 7

Total = 837

É preciso também se habituar a multiplicar por dois qualquer numero dado sem fazer a operação.

Para isso, procederá como na adição, no método que acabo de ensinar, isto é, cada vez que vir da direita um algarismo superior ou igual a 5, considerará um “transporte” de 1 no produto do numero precedente.

Exemplo:

32.761 x 2

Comece da esquerda para a direita, e escreva:

6 – depois no momento de escrever 4, verifica a presença de um 7, escreve, portanto 5 em vez de 4.

65 – de novo se apercebe de um 6, em vez de 4, que resulta de 2 vezes 7 = 14, escreverá, novamente 5.

65.522 – em vez de 2 vezes 2, 4, considerará 5 visto que tem um cinco ao lado.

Total = 65.522.504

Uma vez adquirido o treino necessário, progredirá rapidamente e com menos risco se proceder desta maneira.

É também necessário saber multiplicar, mentalmente, por 25.

Não ignora, provavelmente, que basta para isso multiplica por 100 ( o que se faz juntando dois zeros ao numero ou recuando a virgula e depois dividir por 4, ou 2 divisões sucessivas por 2:

12 x 75 dá 1200 : 4, ou seja, instantaneamente, 300

70x 25 dá 7000 : 4, ou seja, instantaneamente, 1750

62 x 25 da 6200 : 4, ou seja, instantaneamente, 1550

Para multiplicar por 5 procederá de forma idêntica, multiplicando por 10 e dividindo por 2.

186 x 5 = metade de 1890 ou seja, 930.

É muito mais rápido que começar 5x6, 30 e etc.

2834 x 5 = metade de 28.340, ou seja 14.170.

Conclusão:

Habitue-se portanto ao calculo mental e verificará que lhe dará maior facilidade em todos os ramos da matemática. E na vida pratica o calculo mental vai lhe ajudar em muitos serviços. Ele facilita bastante a memorização de algarismos.

Fonte: http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/herbertgois/memorizacao019.asp

HISTÓRIA DA GEOMETRIA

Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.
  

Uma medida para a vida

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito.

Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados o axiomas) para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.

O corpo como unidade

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.

Ângulos e figuras

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.

O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 3²+4²=5², isto é, 9+16=25.

Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.

Para medir superfícies

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.

Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos.

De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.

E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.

Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.

O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, significando circunferência.

Novas figuras

Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.

Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa "muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.

No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.

O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural (http://www.somatematica.com.br/geometria.php)