O Elegante Teorema de Pappus

O Elegante Teorema de Pappus Pappus de Alexandria (séc IV d.C.) foi um grande matemático grego sucessor de Euclides, Arquimedes (gênio matemático) e Apolônio, sua principal obra é a Coleção Matemática, uma mistura de guia da geometria da época, acompanhada de comentários, com numerosas proposições originais, aprimoramentos, extensões e notas históricas. No livro , aparece uma antecipação do teorema do centróide de P. Guldin  e é com esse teorema que iremos calcular o volume do donut´s do Homer Simpson.  Teorema: Girando-se uma região plana  em torno de um eixo de seu plano, eixo esse que não corta a região, o volume do sólido de revolução assim formado é igual ao produto da área da região pelo comprimento da trajetória descrita pelo centróide da região (Fig. abaixo), ou seja, Demonstração: A seção transversal do sólido de revolução é a região limitada pelas funções  e  no intervalo . Usando o método dos discos, o volume deste sólido o volume desse sólido é   Por outro lado, o centróide da região  é dado por Dessas duas expressões segue o resultado. Exemplo: Usando o teorema de Pappus, achar o centróide de um semicírculo de raio . Resolução: A área do semicírculo é igual a  e o volume do sólido gerado pela rotação de um semi-círculo de raio  é o volume de uma esfera de raio , isto é, . Usando a fórmula acima, segue que . O volume da rosquinha de Homer que aliás é um toro ou câmara de ar fica fácil com a fórmula deduzida acima. Supondo que a seção transversal é um círculo e que  é o raio interno e  é o raio externo da rosquinha, então seu volume é dado por Fonte: http://fatosmatematicos.blogspot.com