Loucos pela Matemática UNIBAN ABC: O LTF e o Cálculo de Áreas

Um dos principais limites fundamentais do Cálculo é o Limite Trigonométrico Fundamental (LTF) que é dado por:

$[;\lim_{\theta \to 0} \frac{sin \theta}{\theta} = 1 \quad \quad (1);]$

Este limite surge no Cálculo quando estudamos a derivada das funções trigonométricas. Historicamente, Galileu Galilei (1564-1642) deduziu erroneamente que este limite seria nulo, mas uma análise no ciclo trigonométrico abaixo mostra que

$[;\sin \theta \leq \theta \leq \tan \theta;]$

Dividindo por $[;\sin \theta;]$ , aplicando o limite nas desigualdades e usando o teorema do sanduiche, obtemos [;(1);]

. Com este resultado, podemos calcular facilmente a derivada das funções $[;\sin x;]$ e $[;\cos x;]$ ,mas isto pode ser visto em qualquer livro de Cálculo.

Como as funções trigonométricas estão intimimamente relacionadas com a circunferência, vem a pergunta:

Será que o LTF está relacionado diretamente com o círculo?

A resposta é positiva, pois é através do LTF que provamos diretamente que área do círculo é dada por $[;S = \pi r^2;]$ . De fato, considere a figura abaixo:

Designaremos por [;s(n);]

as áreas dos polígonos inscritos e circunscritos e por [;S;]

. Da figu

ra acima, $[;ON = r\cos \theta;]$ e $[;BN = r\sin \theta;]$ de modo que a área do triângulo é

$[;\frac{ON\times BN}{2} = \frac{r^2}{2}\sin \theta \cos \theta \quad \Rightarrow \quad s(n) = nr^2 \sin \theta \cos \theta;]$

Por outro lado, sendo , se $[;\triangle OAB \sim \triangle OA^{\prime}B^{\prime};]$ , segue que

$[;\frac{S(n)}{s(n)} = \biggl( \frac{OM}{ON}\biggr)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta} \quad \Rightarrow \quad S(n) = nr^2 \ \frac{\sin \theta}{\cos \theta};]$

Sendo $[;s(n) \leq S \leq S(n);]$ e usando o fato que $[;\theta = \frac{\pi}{n};]$ , temos:

$[;\pi r^2 \cos \theta \ \frac{\sin \theta}{\theta} \prec S \prec \pi r^2 \frac{1}{\cos \theta}\frac{\sin \theta}{\theta};]$

Quando aumentamos indefinidamente o número de lados dos polígonos inscritos e circunscritos, isto é, quando [;n;]

tende a infinito, o ângulo $[;\theta;]$ tende a zero e através do LTF segue que

$[;\pi r^2 \leq S \leq \pi r^2;]$

donde segue o resultado.

Obs. O símbolo $[; \prec;]$ está sendo usado no lugar de "menor que", devido a problemas no editor.

Bibliografia: Piskounov N. - Cálculo Diferencial e Integral V. 1. Lopes da Silva Editora, $[;6^{\underline{a}};]$ ed. 1978.