Crianças + Conjectura = PODER MATEMÁTICO

Crianças + Conjectura = PODER MATEMÁTICO

A Minha Conjectura: Qualquer número dividido por si próprio duas vezes é igual a ½, à excepção do 0. "Imagine esta afirmação sendo feita por um aluno da terceira ou quarta classe. Depois imagine uma discussão na turma com os alunos a procurarem exemplos e extensões. Alunos numa tal situação não estão a ser ditos sobre a matemática; aliás, estão a desenvolver o seu poder na matemática. De acordo com o Currículo e os Padrões de Avaliação da NCTM para Matemática nas Escolas (1989, "a conjecturação e a demonstração da validade lógica de conjecturas são a essência do acto criativo de fazer a matemática! (p. 81). Os padrões promovem a conjecturação como parte valiosa da aprendizagem. De acordo com o dicionário Webster, conjecturas são conclusões tiradas de uma evidência incompleta. Na minha turma, conjecturas são essenciais para a nossa comunidade de aprendizagem.

• Capacitam os alunos a promoverem propriedade e inquérito,
• Proporcionam um meio para os alunos construírem conhecimento matemático, e
• Estimulam oportunidades para os alunos fazerem conexões.

Qual é o papel de conjecturas na aprendizagem da matemática? Como é que as conjecturas demonstram o poder matemático? Como é que conjecturas consolidam o entendimento e encorajam conexões? Estas perguntas serão exploradas nas seguintes secções:

COMUNIDADE DE APRENDIZAGEM FOCADA NO PENSAMENTO, NA COLABORAÇÃO E NO INQUÉRITO DOS ALUNOS: A valorização e o respeito do pensamento dos alunos, estabelecendo uma atmosfera colaborativa e forjando um espírito de inquérito, são três aspectos importantes nas nossas turmas de terceira e quarta classes. Nós devemos valorizar altamente as ideias dos alunos à medida em que eles vão construindo um significado sobre a matemática. Todas as perguntas, ideias, comentários, conexões e conjecturas dos alunos são importantes. Os alunos aprendem a correr riscos com o seu pensamento à medida em que vão partilhando as suas ideias. A habilidade e a disposição de desenvolver os seus próprios métodos para a solução dos problemas, desacordar com ideias de outros alunos, e apresentar conjecturas, é tudo desenvolvido ao longo do ano.

O arranjo físico da nossa turma estimula os nossos esforços. A maior parte do tempo dos nossos alunos é passada em discussões a nível de pequenos grupos ou grupos inteiros. Os quadros são dispostos no sentido de acomodar seis grupos de quatro alunos cada. Durante o tempo de discussão em grupos pequenos, os alunos são encorajados a dialogarem com os seus colegas da carteira. Várias conjecturas são criadas colaborativamente nessas discussões a nível de pequenos grupos. Os grupos são organizados em volta de um retroprojector que é o ponto focal para conversações do grupo inteiro. Durante essas conversações, os alunos podem inter-agir com ideias de uma audiência mais ampla.

Os meus alunos engajam-se nessas discussões da matemática num ambiente baseado em perguntas. Para nós, o ensino e a aprendizagem baseados na pergunta significam que toda a gente é criadora da matemática. Aos alunos é dada a oportunidade para construir conhecimento e raciocinar através de problemas por vias que para eles fazem sentido. Os alunos querem compreender a matemática, e quando estão petrificados quanto a uma ideia, querem investigá-la. Eles sentem-se confiantes nas suas próprias capacidades quando estão a resolver problemas, particularmente quando podem trabalhar em conjunto.

O PAPEL DE CONJECTURAS NA COMUNIDADE DE APRENDIZAGEM: As conjecturas partem de ideias dos alunos. Os alunos criam conjecturas individualmente, com um parceiro, ou com um pequeno grupo. Muitas vezes, as ideias que os alunos ouvem ou pensam durante discussões, resultam numa conjectura. No princípio do ano, os alunos definiram uma conjectura como uma ideia que pode ser aplicada a mais de um número. Eles decidiram também que conjecturas devem ter exemplos. Os alunos registam as suas conjecturas nos seus cadernos de matemática e escrevem-nas em transparências, em preparação para discussões em grupos inteiros. Eu constatei que as conjecturas que os alunos escrevem tornam-se mais claras ao longo do tempo e através da revisão. Uma das minhas responsabilidades como professor, é determinar a melhor altura para os alunos partilharem conjecturas com o resto da turma.

Os alunos lêem as suas conjecturas, trocam exemplos, fazem demonstrações manipulativas, ou explicam as representações. Os restantes alunos fazem perguntas, concordam ou descordam, explicam porquê e copiam as conjecturas nos seus próprios cadernos. A turma decide se uma conjectura é válida, oferecendo contra exemplos, generalizando, ou apoiando a conjectura com mais explicações. Depois de a turma acordar que a conjectura é válida nós colamo-la na nossa parede de conjecturas para todo o ano, juntamente com o nome do aluno e a data . A parede de conjectura apresenta uma história cumulativa do pensamento do aluno.

A CONJECTURAÇÃO DEMONSTRAÇÃO O PODER NA MATEMÁTICA:
O poder matemático inclui auto-confiança pessoal na matéria, bem como a capacidade de raciocinar através de problemas e comunicar com os outros sobre ideias e soluções. É importante que os alunos comuniquem as suas ideias e raciocinem claramente. É preciso que um aluno tenha muita confiança para se apresentar perante os colegas da turma e explicar uma conjectura.

Depois de as conjecturas serem afixadas, são utilizadas para referência e revisão. Durante as discussões é normal ouvir um aluno referir-se a uma certa conjectura quando estiver a fazer um argumento. Utilizadas desta forma, as conjecturas ajudam a contribuir e consolidar as ideias dos alunos. Por vezes, novas evidências são apresentadas e nós revemos uma conjectura na mesma conformidade. Como ante-projectos, as conjecturas são sempre abertas a mudanças. Por exemplo, Ellen, Robin e Sammy, afirmaram, na sua conjectura que "Nas fracções, nós constatamos que quanto maior for o botão (denominador), menor é a fracção. Quanto menor for o denominador, maior é a fracção. Exemplos: ¼ é menor do que ½, e 1/16 é menor do que 1/8". À medida em que explorávamos as fracções não unitárias, revimos o início da conjectura para afirmar, "para fracções unitárias apenas, ..." alunos da minha turma estão acostumados a rever as suas ideias tanto escritas, como verbais.

Os alunos excitam-se muito e julgam que ajudam em grande medida apresentar uma conjectura à turma. Quando são capazes de ensinar os outros alunos e artilhar ideias para os ajudar a aprender, sentem-se motivados. Os alunos aprendem que é aceitável rever, ou mesmo eliminar uma conjectura, sem quaisquer receios de críticas por parte dos colegas. O fazer sentido, que é o que leva ao poder na matemática, é o principal objectivo na nossa comunidade de aprendizagem.

CONJECTURAÇÃO PARA FAZER CONEXÕES: Os alunos são capacitados quando fazem conexões no contexto matemático, entre contextos, ou para as suas próprias vidas (vide fig. 2). Os alunos constróem conhecimento, ligando novo material a experiências e conhecimentos anteriores. As conjecturas são uma forma para os alunos fazerem conexões. Por exemplo, a Sabrina fez uma conjectura ligando a multiplicação à divisão. Ela disse "quando o dividendo é um múltiplo do divisor, o quociente será o todo sem qualquer remanescente". Uma conexão no conteúdo inteiro ocorreu quando a Lenny afirmou: "na ciência, nós medimos líquidos num recipiente e utilizamos fracções para sermos exactos. Se não utilizarmos fracções, não será correcto e confundir-se-á tudo". Conexões para a vida fora da turma foram feitas quando Scott escreveu, "há fracções em todos os cantos. Se olhar para um pacote de pastilhas elásticas, cada pastilha elástica seria 1/15, o tamanho dos meus sapatos é 3 ½, ou os azes num baralho de cartas são 4/52".

Através de discussões envolvendo conjecturas, perguntas e comentários, os alunos deverão justificar as suas ideias, explicar o seu raciocínio e tentar fazer sentido da matemática. No geral, essas conexões demonstram o poder na matemática.

DESENVOLVIMENTO DE CONJECTURAS NA COMUNIDADE DE APRENDIZAGEM: No primeiro dia de uma nova unidade de seis semanas sobre fracções, dei aos meus 21 alunos da terceira e quarta classes três questões de pré-avaliação. Cada aluno respondeu essas perguntas no seus caderno da matemática:
1. O que são fracções?
2. Como é que pode representar fracções?
3. Quando é que utiliza fracções na sua vida real?

Nós voltamos a reunir-nos num grupo e passamos o resto da nossa aula discutindo as três perguntas. O Cody partilhou o seu pensamento sobre a segunda pergunta. Ele representou as fracções, escrevendo 5 a dividir por 10 é igual a ½ e 20 a dividir por 40 é igual a ½.

Perguntei-o onde é que obteve a sua ideia, ele disse-me que foi a partir da conjectura do Bill, durante as nossas unidades anteriores sobre a divisão. A conjectura do Bill era de que "se dividir um número por um número mais elevado irá obter uma fracção, excepto zero". Ele deu muitos exemplos, incluindo: 12 a dividir por 24 = ½, 12 a dividir por 96 = 1/8, 12 a dividir por 48? ¼, 3 a dividir por 6 ? ½, e 3 a dividir por 12 = ¼.

Cody demonstrou a sua ideia, desenhando a figura 3 numa transparência. No fim da aula, Cody mostrou-me uma conjectura que ele tinha escrito no seu caderno. Lia-se da seguinte forma: "qualquer número dividido por duas vezes si próprio é igual a ½, excepto 0". Deu os exemplos: 5 a dividir por 10 = ½, 10 a dividir 20 ? ½ e 20 a dividir por 40 = ½.

No dia seguinte, pedi o Cody para ler a sua conjectura a partir de uma transparência no retroprojector. Depois de alguns comentários e perguntas iniciais, fiquei curioso em ver o que a turma pensava da ideia do Cody. Instrui que os alunos escrevessem nos seus cadernos porque é que concordavam ou não concordavam com a conjectura do Cody e para explicarem o seu raciocínio.

À medida em que eu ia passando pela turma, notei que a turma concordava com a ideia do Cody. Vários alunos utilizaram exemplos para verem se a sua conjectura funcionava. Shawn tinha descoberto um padrão e registou o seguinte no seu caderno: 2 a dividir por 4 = ½; 3 a dividir por 6 = 1/1; 4 a dividir por 8 = ½; 5 a dividir por 10 = ½.

Alguns alunos generalizaram a conjectura do Cody aos denominadores que não o 2 e estiveram muito excitados com esta conexão. Por exemplo, o Bob e o Nick tentaram 3 como denominador e escreveram, "qualquer número dividido por si próprio 3 vezes é igual a 1/3, excepto o 0. 4 a dividir por 12 = 1/3; 5 a dividir por 15 = 1/3 e 12 a dividir por 36 = 1/3".

Observei também que vários alunos estavam a fazer padrões nos seus cadernos com 2, 3, 4, 5 e 6, para o multiplicando e o divisor correspondente (fig. 4). Depois de 15 minutos, juntámo-nos para uma discussão de grupo. A maior parte dos alunos estava ansiosa em partilhar as suas conjecturas "novas", que eram a conjectura do Cody, utilizando números que não o dois. Perguntei-lhes como é que podiam rever a conjectura do Cody no sentido de incluírem todos os seus números. A Megan sugeriu que utilizássemos a "álgebra". Vários alunos ficaram espantados pela sua sugestão. Ela explicou que a álgebra utiliza letras para números. Com alguma ajuda ela propôs: "qualquer número dividido por x vezes ele próprio, é igual a 1/x, excepto o 0". A Megan desenvolveu a ideia dizendo que "x pode significar qualquer número porque nós não temos espaço suficiente para escrever todos os diferentes números numa conjectura". A Abby ligou esta ideia à noção do infinito quando explicou que: "não é possível ter-se todos os números numa conjectura separada, porque os números continuam para sempre". Alguns dos alunos compreenderam a ideia do x e que este representa". A maior parte deles compreendeu o conceito do infinito e o seu relacionamento a essa conjectura da turma. A turma decidiu que seria justo afixar a conjectura original da Coddy na nossa parede de conjecturas e também afixar uma conjectura da turma utilizando a representação algébrica da Megan.

Nós tivémos também alguma discussão sobre o zero e porque é que este é uma excepção. A Kelly disse que "se não houvesse nada, não seria possível fazer uma fracção porque não haveria nada por onde iniciar-se". Na sua percepção, o zero em si significa que nada lá existe. O Samy recordou a turma que "com a multiplicação e a divisão, quando há um "0", significa que não há conjuntos, ou nada". A Kim terminou esta rica discussão, fazendo uma pergunta à turma: "a conjectura do Cody funciona com números negativos?".

REFLEXÕES: Durante discussões a nível do grupo, registei algumas ideias interessantes no meu caderno. Eu utilizo os meus comentários para avaliar a aprendizagem dos alunos, fazer perguntas e reflectir. As minhas notas ajudam a captar o que acontece durante as discussões.

Fiquei satisfeito com as conexões do alunos, suas generalizações e perguntas nas nossas discussões sobre fracções. Os alunos fizeram conexões entre as áreas de conteúdo de fracções, da divisão, da álgebra e de números inteiros, e com importantes ideias matemáticas, como o infinito e o zero.

As suas conexões demonstraram que eles tinham-se recordado e aplicaram algum conteúdo aprendido anteriormente na nova unidade de fracções. Quando escutava as suas discussões, recordei-me de quão valioso era para os estudantes partilhar o seu raciocínio e pensamento. As suas inter-acções ilustraram a importância e a força das ideias dos alunos para o entendimento dos seus colegas. Alguns alunos generalizaram a conjectura do Cody para outros números. Por si próprios, eles verificaram se a conjectura era verdadeira para números diferentes do 2. Foi interessante ver como alguns alunos utilizaram padrões como uma estratégia para ampliar a conjectura do Cody. Por exemplo, um aluno começou com 2, depois experimentou 3, 4, 5 e 6. O uso de padrões ajudou os alunos a generalizarem para além de determinada informação. Os padrões ajudaram também os alunos a reconhecerem os seus pensamentos e proporcionaram oportunidades para o surgimento de contra exemplos.

CONCLUSÃO: Conjecturas desempenham três papeis importantes no desenvolvimento do poder na matemática. Em primeiro lugar, elas capacitam os alunos com um sentimento de propriedade, porque eles vêem as suas ideias como sendo importantes e estando a contribuir para a compreensão dos seus colegas da turma. O conhecimento e a compreensão são desenvolvidos de forma colaborativa. Em segundo lugar, as conjecturas permitem os alunos descobrir e construir "novos" conhecimentos matemáticos, ligando o que estão a tentar aprender a experiências e conhecimentos anteriores. Em terceiro lugar, conjecturas constituem um veículo para os alunos fazerem conexões dentro do contexto matemático, entre contextos e para as suas próprias vidas quotidianas. Em suma, as conjecturas ajudam os alunos a fazerem sentido da matemática que estão a aprender.

REFERÊNCIA:
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va.: NC.

AUTORA: Danise Cantlon.

Danise Cantlon, dcantlon@scnc.holt.k12.mi.us, ensina a Quarta e Quinta classes numa turma de idades diversas no Centro de Desenvolvimento Profissional Elementar de Elliot, Holt, MI 48842. Ela tem estado envolvida em diferentes aspectos da matemática e projectos de tecnologia durante os últimos sete anos. A autora manifesta o seu apreço a Michael Hynes, por suas observações positivas na preparação deste artigo para publicação. Fotografia por Danise Cantlon; todos os direitos reservados.

FONTE: Ensinar a Matemática a Crianças - 5 no 2 108-12 O '98. O publicador da revista é o detentor dos direitos do autor deste artigo que é reproduzido com autorização. Nova reprodução deste artigo em violação dos direitos do autor é proibida.