1. JANELAS MATEMÁTICAS
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Outra forma de calcular potências
Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números ímpares. Ele descobriu que n2 é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares. Exemplo:
52 = 1+3+5+7+9 = 25
quinta-feira, 29 de outubro de 2009
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Você conhece o número mágico?
1089 é conhecido como o número mágico. Veja porque:
Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.
Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior:
875 - 578 = 297
Agora inverta também esse resultado e faça a soma:
297 + 792 = 1089 (o número mágico) .
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Você conhece o número mágico?
1089 é conhecido como o número mágico. Veja porque:
Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.
Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior:
875 - 578 = 297
Agora inverta também esse resultado e faça a soma:
297 + 792 = 1089 (o número mágico) .
Como resolver problemas matemáticos
Como resolver problemas matemáticos
Foi recentemente publicado o livro "Como resolver problemas matemáticos — Uma perspectiva pessoal", de Terence Tao, Sociedade Portuguesa de Matemática e Texto Editores, 2008.
Terence Tao é um matemático australiano que, no primeiro dia do 25º Congresso Internacional de Matemática, realizado em Madrid, em Agosto de 2006, recebeu do rei de Espanha a medalha Fields.
Certamente já ouviste falar nos prémios Nobel. Ora a medalha Fields é algo como o prémio Nobel da Matemática, mas muito mais difícil de obter porque é atribuída nos Congressos Internacionais de Matemática, e estes ocorrem apenas de quatro em quatro anos.
Os premiados com a medalha Fields são escolhidos por comissões nomeadas pela União Matemática Internacional. Os membros dessas comissões são pessoas que fizeram trabalhos matemáticos excepcionais.
A citação oficial que acompanhou a atribuição da medalha de Tao nomeia alguns dos seus trabalhos. O mais famoso é sobre números primos.
A sucessão dos números primos contém progressões aritméticas — isto é, sequências em que a diferença entre cada número e o seguinte é constante — de vários comprimentos.
Por exemplo, 3, 5, 7 é uma progressão aritmética de comprimento três. Outra é 5, 11, 17, 23, 29, de comprimento cinco. É muito difícil encontrar progressões aritméticas nos primos, e a maior conhecida actualmente tem comprimento 24. Tao provou, em colaboração com Ben Green, que na sucessão dos números primos existem progressões aritméticas de qualquer comprimento.
Tao fez também uma investigação, com Emmanuel Candès, sobre técnicas de compressão de imagens, ou seja, sobre a substituição inteligente de uma enorme colecção de dados por um conjunto mais pequeno contendo o essencial da informação. Esta técnica, chamada compressed sensing, poderá ser aplicada na concepção de máquinas fotográficas digitais tecnologicamente mais avançadas.
Tanto Tao como os seus dois irmãos foram crianças e jovens cuidadosamente acompanhados pelos seus pais (uma professora de Matemática e um pediatra emigrados de Hong Kong para a Austrália) durante o seu percurso escolar, o que lhes permitiu um progresso acelerado nos estudos. Aliás ele gosta de insistir que o essencial em Matemática é o trabalho.
Foi um participante entusiasta das Olimpíadas Internacionais de Matemática: em 1986, ainda antes de completar 11 anos, ganhou uma medalha de bronze, em 1987 uma de prata e, finalmente, na sua terceira participação, em 1988, ganhou uma medalha de ouro com 13 anos de idade. Daí já lhe terem chamado o “Mozart” da Matemática.
Neste livro, escrito aos 15 anos, reuniu vários problemas de Matemática. Antes dos quatro capítulos principais — sobre teoria dos números, álgebra e análise, geometria euclidiana, e geometria analítica — há um capítulo sobre “Estratégias de resolução de problemas”. Aí analisa, através de exemplos, vários princípios gerais para resolver problemas de Matemática: compreender o problema, compreender o objectivo, escolher símbolos adequados, escrever o que já se sabe, ir provando mais alguma coisa, … Os problemas exigem apenas conhecimentos matemáticos elementares, tal como sucede nas Olimpíadas de Matemática, mas requerem reflexão e criatividade na sua resolução.
Numa entrevista de 2006, Tao explicou a sua estratégia:
"Quando eu era criança, tinha uma ideia romântica da Matemática, a ideia de que os problemas difíceis eram resolvidos em momentos Eureka de inspiração. […] Hoje, comigo, é sempre assim: Vamos tentar esta ideia. Isso leva-me a algum progresso, ou então não funciona. Agora tentemos aquilo. Oh, há aqui um pequeno atalho. Trabalhamos durante tempo suficiente e, a certa altura, conseguimos progredir num problema difícil entrando pela porta das traseiras. No final o que normalmente acontece é: Olha, resolvi o problema."
Qualquer jovem, que goste de pensar pela sua própria cabeça, achará este livro muito interessante e útil.
(Adaptação e simplificação do prefácio do livro mencionado, de modo a torná-lo acessível aos nossos alunos do 9º ano)
Foi recentemente publicado o livro "Como resolver problemas matemáticos — Uma perspectiva pessoal", de Terence Tao, Sociedade Portuguesa de Matemática e Texto Editores, 2008.
Terence Tao é um matemático australiano que, no primeiro dia do 25º Congresso Internacional de Matemática, realizado em Madrid, em Agosto de 2006, recebeu do rei de Espanha a medalha Fields.
Certamente já ouviste falar nos prémios Nobel. Ora a medalha Fields é algo como o prémio Nobel da Matemática, mas muito mais difícil de obter porque é atribuída nos Congressos Internacionais de Matemática, e estes ocorrem apenas de quatro em quatro anos.
Os premiados com a medalha Fields são escolhidos por comissões nomeadas pela União Matemática Internacional. Os membros dessas comissões são pessoas que fizeram trabalhos matemáticos excepcionais.
A citação oficial que acompanhou a atribuição da medalha de Tao nomeia alguns dos seus trabalhos. O mais famoso é sobre números primos.
A sucessão dos números primos contém progressões aritméticas — isto é, sequências em que a diferença entre cada número e o seguinte é constante — de vários comprimentos.
Por exemplo, 3, 5, 7 é uma progressão aritmética de comprimento três. Outra é 5, 11, 17, 23, 29, de comprimento cinco. É muito difícil encontrar progressões aritméticas nos primos, e a maior conhecida actualmente tem comprimento 24. Tao provou, em colaboração com Ben Green, que na sucessão dos números primos existem progressões aritméticas de qualquer comprimento.
Tao fez também uma investigação, com Emmanuel Candès, sobre técnicas de compressão de imagens, ou seja, sobre a substituição inteligente de uma enorme colecção de dados por um conjunto mais pequeno contendo o essencial da informação. Esta técnica, chamada compressed sensing, poderá ser aplicada na concepção de máquinas fotográficas digitais tecnologicamente mais avançadas.
Tanto Tao como os seus dois irmãos foram crianças e jovens cuidadosamente acompanhados pelos seus pais (uma professora de Matemática e um pediatra emigrados de Hong Kong para a Austrália) durante o seu percurso escolar, o que lhes permitiu um progresso acelerado nos estudos. Aliás ele gosta de insistir que o essencial em Matemática é o trabalho.
Foi um participante entusiasta das Olimpíadas Internacionais de Matemática: em 1986, ainda antes de completar 11 anos, ganhou uma medalha de bronze, em 1987 uma de prata e, finalmente, na sua terceira participação, em 1988, ganhou uma medalha de ouro com 13 anos de idade. Daí já lhe terem chamado o “Mozart” da Matemática.
Neste livro, escrito aos 15 anos, reuniu vários problemas de Matemática. Antes dos quatro capítulos principais — sobre teoria dos números, álgebra e análise, geometria euclidiana, e geometria analítica — há um capítulo sobre “Estratégias de resolução de problemas”. Aí analisa, através de exemplos, vários princípios gerais para resolver problemas de Matemática: compreender o problema, compreender o objectivo, escolher símbolos adequados, escrever o que já se sabe, ir provando mais alguma coisa, … Os problemas exigem apenas conhecimentos matemáticos elementares, tal como sucede nas Olimpíadas de Matemática, mas requerem reflexão e criatividade na sua resolução.
Numa entrevista de 2006, Tao explicou a sua estratégia:
"Quando eu era criança, tinha uma ideia romântica da Matemática, a ideia de que os problemas difíceis eram resolvidos em momentos Eureka de inspiração. […] Hoje, comigo, é sempre assim: Vamos tentar esta ideia. Isso leva-me a algum progresso, ou então não funciona. Agora tentemos aquilo. Oh, há aqui um pequeno atalho. Trabalhamos durante tempo suficiente e, a certa altura, conseguimos progredir num problema difícil entrando pela porta das traseiras. No final o que normalmente acontece é: Olha, resolvi o problema."
Qualquer jovem, que goste de pensar pela sua própria cabeça, achará este livro muito interessante e útil.
(Adaptação e simplificação do prefácio do livro mencionado, de modo a torná-lo acessível aos nossos alunos do 9º ano)
Matemática em Portugal
1. A Matemática em Portugal antes de 1772 (João Filipe Queiró)
Neste período, e aliás em toda a História da Matemática portuguesa, destaca-se em primeiríssimo plano a figura de Pedro Nunes (1502-1578), o primeiro ocupante da nova cadeira de Matemática da Universidade, após a transferência definitiva desta para Coimbra. Os seus livros têm sido analisados e comentados, por autores nacionais e estrangeiros, e, sem prejuízo da necessidade de estudos e investigações adicionais, é hoje possível ter uma ideia da importância e do significado da obra do grande matemático português.
Destacamos a seguir algumas obras de Pedro Nunes:
1) Numa sucessão de estudos, culminando no De arte atque ratione navigandi (Opera, Basileia, 1566), Pedro Nunes, na sequência de uma pergunta de Martim Afonso de Sousa regressado de uma viagem ao Brasil, esclareceu que as linhas de rumo isto é, as rotas seguidas quando se mantém constante o ângulo com a agulha magnética não são geodésicas (arcos de círculos máximos) e compreendeu a sua verdadeira natureza: com excepção de casos triviais (os meridianos e os paralelos) em que são circulares, as linhas de rumo são curvas em espiral que se aproximam dos pólos dando um número infinito de voltas em redor deles. Num dos estudos em que tratou das linhas de rumo, o Tratado em defensam da carta de marear (Lisboa, 1537), Pedro Nunes enuncia duas propriedades desejáveis para os mapas: a de preservação de ângulos, e a representação de linhas de rumo por linhas rectas. Estes requisitos são exactamente o que tornou o grande mapa do mundo de Mercator (1569) tão útil na navegação. Uma eventual inspiração de Mercator em Pedro Nunes permanece matéria de controvérsia.
2) A obra De erratis Orontii Finæi (Coimbra, 1546, Basileia 1592) contém uma lista de severas correcções de Pedro Nunes a dois trabalhos do matemático francês Oronce Fine (1494-1555). Nesses trabalhos o matemático francês expunha "soluções" para vários problemas clássicos, incluindo a duplicação do cubo, a quadratura do círculo, a construção de polígonos regulares (todas questões só completamente esclarecidas no século XIX) e mesmo a determinação da longitude. Esta obra de Pedro Nunes está actualmente a ser objecto de pormenorizada análise por Anabela Simões Ramos.
3) Uma das obras maiores de Pedro Nunes é o Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria (Antuérpia, 1567), que redigiu em espanhol. Desta obra se ocupou longamente um especialista na história da Álgebra quinhentista, H. Bosmans. O assunto central é a resolução de equações, sobretudo do 1(o) grau ao 3(o). Traço distintivo são a abstracção e generalidade com que são tratadas as teorias e apresentados os problemas. Pela primeira vez aparecem demonstrações algébricas gerais rigorosas. Pedro Nunes adopta a notação literal, e os raciocínios com letras são independentes de considerações geométricas. São estudadas as operações com polinómios. Importante obra de transição antes de Viète (Bosmans diz de Pedro Nunes que foi "um dos algebristas mais eminentes do século XVI"), o Libro de Algebra foi muito conhecido e citado na Europa (entre outros por Wallis). Teve traduções em latim e francês, que ficaram manuscritas.
4) No livro De Crepusculis (Lisboa, 1542; Coimbra, 1571; Basileia, 1573) analisou Pedro Nunes, agora em resposta a uma pergunta do príncipe D. Henrique o futuro Cardeal-Rei , "a extensão do crepúsculo em diferentes climas". Entre outros resultados, determinou a data e a duração do crepúsculo mínimo para cada lugar no globo. Este problema ocupou os irmãos Bernoulli século e meio mais tarde. Gomes Teixeira faz interessantes observações comparativas dos métodos usados pelo português e pelos irmãos suíços. O De Crepusculis foi por vários comentadores considerado a obra-prima de Pedro Nunes, e merece bem uma reanálise moderna (há um estudo muito recente de Carlos Vilar). Ao mencionar as repercussões da obra na Europa, incluindo o aplauso de Tycho Brahe e as citações que dela faz Clavius, diz Joaquim de Carvalho que ela "logrou a consagração inerente às explicações científicas, entrando e fluindo, muitas vezes anonimamente, no caudal dos conhecimentos exactos que constituem património da Humanidade" (Anotações ao De Crepusculis, <>, vol. II, Lisboa, 1943). Esta apreciação é adequada também ao Libro de Algebra e, na verdade, a toda a obra matemática de Pedro Nunes.
Pedro Nunes é o nosso primeiro exemplo de cientista "puro", para quem as exigências de precisão e rigor são uma constante. (A este respeito, é interessante referir as querelas que teve com contemporâneos, nomeadamente "práticos", em que são frequentes as suas defesas altivas da superioridade do saber científico.) O matemático português foi, neste século e no seguinte, um caso único, aliás não só em Portugal como em toda a Península Ibérica. "Fuera de una y otra nación [Portugal e Espanha] vivió espiritualmente", diz J. Rey Pastor (Los matemáticos españoles del siglo XVI, Madrid, 1926).
A Academia das Ciências de Lisboa iniciou nos anos 40 um notável projecto de publicação das Obras de Pedro Nunes. Dos seis volumes previstos, foram publicados quatro, estando a série interrompida há quase 40 anos, praticamente desde a morte do seu grande impulsionador, o professor de Coimbra Joaquim de Carvalho. Seria uma pena que a publicação não fosse completada, por exemplo a tempo do 5(o) centenário do nascimento de Pedro Nunes, em 2002.
Deixamos a seguir um apontamento, muito resumido e incompleto, sobre outras actividades matemáticas em Portugal nos séculos XVI a XVIII.
Pedro Nunes foi cosmógrafo-mor do Reino a partir de 1547, um cargo criado nessa data. Uma das obrigações do cosmógrafo-mor era uma aula diária de Matemática (aplicada à náutica, já se vê). O cargo foi abolido em 1779 para dar lugar à Academia Real de Marinha.
No Colégio jesuíta de Santo Antão, em Lisboa, funcionou desde fins do século XVI até ao século XVIII uma Aula de Esfera, pública, que chegou a ter frequência apreciável. Para além da Matemática aplicada à navegação, aí se estudava Astronomia, Geometria, Aritmética, etc.
Além de Santo Antão e da Universidade de Évora, tiveram os jesuítas aulas de Matemática, por vezes públicas, em vários colégios, nomeadamente em Coimbra. Para ajudar a assegurar esse serviço, vieram muitos professores estrangeiros, em particular italianos e alemães. Dignos de registo, alguns com trabalhos de astronomia, náutica e cartografia, são os nomes de Grienberger (mais tarde sucessor de Clavius no Colégio Romano), Borri (que na primeira metade do século XVII divulgou entre nós as manchas solares e Galileu), Stafford, Estancel, Capassi e Carbone. Os dois últimos estão associados à criação do Observatório Astronómico do Colégio de Santo Antão.
Capassi partiu em 1729 para o Brasil com outro professor jesuíta, Diogo Soares, em cumprimento do encargo dado pelo Rei D. João V de elaborar o mapa do grande Estado transatlântico. A elaboração de mapas é aliás uma das vertentes principais da actividade matemática neste período. Já o jesuíta suíço João König, chamado em 1682 para ocupar a cadeira de Matemática da Universidade de Coimbra, vaga há muito tempo, abandonou o ensino quatro anos depois, por ordem do Governo, para elaborar um mapa de Portugal.
A partir de meados do século XVII, com a guerra da independência, recebem impulso os estudos de Matemática aplicada às actividades militares. Data desta altura a criação da Aula de Fortificação e Arquitectura Militar. Também em Santo Antão se deu atenção a estes tópicos. Muito mais tarde, no século XVIII, têm interesse os estudos de Matemática aplicada à artilharia em unidades e academias militares.
Desta breve resenha o que ressalta é a feição prática, ou aplicada, que ela sugere sobre o estudo da Matemática em Portugal neste período. Com o patrocínio do Estado ou nas escolas da Companhia de Jesus, estudam-se matérias vistas como correspondendo a necessidades concretas imediatas do País.
A consulta da lista dos trabalhos matemáticos redigidos em Portugal ou por portugueses neste período revela um panorama análogo. Nota-se uma clara predominância de obras dedicadas a temas dentro do que se poderá chamar Matemática Aplicada: náutica, efemérides astronómicas, atlas e cartas (incluindo plantas de fortalezas), geometria aplicada à fortificação, aritmética aplicada a actividades financeiras. Interessante é a frequência de registos de observações astronómicas (eclipses lunares, cometas). Pormenor a reter é o de que muitas destas obras existem apenas em manuscrito.
Parece inequívoco que, no período que nos vem interessando, a Matemática portuguesa não acompanhou nem tomou parte nos grandes avanços da época, e ao não cultivo da Matemática "Pura" poderá ser associada a necessidade frequente de recrutar professores estrangeiros para assegurar o ensino, mesmo da Matemática elementar, nas nossas escolas, por cá não haver quem o fizesse.
O quadro mental e cultural português no período em causa está suficientemente documentado e estudado e não é necessário recordá-lo aqui. Os seus reflexos na nossa vida matemática (ou falta dela) decorrem basicamente do facto de que os grandes progressos científicos da época estiveram em geral associados a propostas filosóficas contra as quais as autoridades políticas e religiosas nacionais estavam em prevenção constante, o que produzia uma explícita atitude de recusa genérica da novidade na instrução. Quanto à situação geral do País, menos ainda é preciso evocá-la como pano de fundo para tudo o resto.
Na primeira metade do século XVIII, entretanto, multiplicam-se os sinais de uma mudança de ambiente. Dentro e fora do país, surgem vários portugueses interessados nas modernas tendências científicas. Ocorrem, entre outros, os nomes de Jacob de Castro Sarmento (com uma newtoniana Theorica verdadeira das marés, Londres, 1737), José Soares de Barros e Vasconcelos, astrónomo muitos anos em Paris, Manuel de Azevedo Fortes, engenheiro, autor de uma Logica racional, geometrica e analytica (Lisboa, 1744), Teodoro de Almeida, da Congregação do Oratório, com a sua Recreação Philosophica, e os jesuítas Eusébio da Veiga, astrónomo em Lisboa, Manuel de Campos e Inácio Monteiro. Todos estes autores merecem análises modernas (só o último deles foi estudado em trabalhos recentes, de Resina Rodrigues e Ana Isabel Rosendo).
Neste período, e aliás em toda a História da Matemática portuguesa, destaca-se em primeiríssimo plano a figura de Pedro Nunes (1502-1578), o primeiro ocupante da nova cadeira de Matemática da Universidade, após a transferência definitiva desta para Coimbra. Os seus livros têm sido analisados e comentados, por autores nacionais e estrangeiros, e, sem prejuízo da necessidade de estudos e investigações adicionais, é hoje possível ter uma ideia da importância e do significado da obra do grande matemático português.
Destacamos a seguir algumas obras de Pedro Nunes:
1) Numa sucessão de estudos, culminando no De arte atque ratione navigandi (Opera, Basileia, 1566), Pedro Nunes, na sequência de uma pergunta de Martim Afonso de Sousa regressado de uma viagem ao Brasil, esclareceu que as linhas de rumo isto é, as rotas seguidas quando se mantém constante o ângulo com a agulha magnética não são geodésicas (arcos de círculos máximos) e compreendeu a sua verdadeira natureza: com excepção de casos triviais (os meridianos e os paralelos) em que são circulares, as linhas de rumo são curvas em espiral que se aproximam dos pólos dando um número infinito de voltas em redor deles. Num dos estudos em que tratou das linhas de rumo, o Tratado em defensam da carta de marear (Lisboa, 1537), Pedro Nunes enuncia duas propriedades desejáveis para os mapas: a de preservação de ângulos, e a representação de linhas de rumo por linhas rectas. Estes requisitos são exactamente o que tornou o grande mapa do mundo de Mercator (1569) tão útil na navegação. Uma eventual inspiração de Mercator em Pedro Nunes permanece matéria de controvérsia.
2) A obra De erratis Orontii Finæi (Coimbra, 1546, Basileia 1592) contém uma lista de severas correcções de Pedro Nunes a dois trabalhos do matemático francês Oronce Fine (1494-1555). Nesses trabalhos o matemático francês expunha "soluções" para vários problemas clássicos, incluindo a duplicação do cubo, a quadratura do círculo, a construção de polígonos regulares (todas questões só completamente esclarecidas no século XIX) e mesmo a determinação da longitude. Esta obra de Pedro Nunes está actualmente a ser objecto de pormenorizada análise por Anabela Simões Ramos.
3) Uma das obras maiores de Pedro Nunes é o Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria (Antuérpia, 1567), que redigiu em espanhol. Desta obra se ocupou longamente um especialista na história da Álgebra quinhentista, H. Bosmans. O assunto central é a resolução de equações, sobretudo do 1(o) grau ao 3(o). Traço distintivo são a abstracção e generalidade com que são tratadas as teorias e apresentados os problemas. Pela primeira vez aparecem demonstrações algébricas gerais rigorosas. Pedro Nunes adopta a notação literal, e os raciocínios com letras são independentes de considerações geométricas. São estudadas as operações com polinómios. Importante obra de transição antes de Viète (Bosmans diz de Pedro Nunes que foi "um dos algebristas mais eminentes do século XVI"), o Libro de Algebra foi muito conhecido e citado na Europa (entre outros por Wallis). Teve traduções em latim e francês, que ficaram manuscritas.
4) No livro De Crepusculis (Lisboa, 1542; Coimbra, 1571; Basileia, 1573) analisou Pedro Nunes, agora em resposta a uma pergunta do príncipe D. Henrique o futuro Cardeal-Rei , "a extensão do crepúsculo em diferentes climas". Entre outros resultados, determinou a data e a duração do crepúsculo mínimo para cada lugar no globo. Este problema ocupou os irmãos Bernoulli século e meio mais tarde. Gomes Teixeira faz interessantes observações comparativas dos métodos usados pelo português e pelos irmãos suíços. O De Crepusculis foi por vários comentadores considerado a obra-prima de Pedro Nunes, e merece bem uma reanálise moderna (há um estudo muito recente de Carlos Vilar). Ao mencionar as repercussões da obra na Europa, incluindo o aplauso de Tycho Brahe e as citações que dela faz Clavius, diz Joaquim de Carvalho que ela "logrou a consagração inerente às explicações científicas, entrando e fluindo, muitas vezes anonimamente, no caudal dos conhecimentos exactos que constituem património da Humanidade" (Anotações ao De Crepusculis, <
Pedro Nunes é o nosso primeiro exemplo de cientista "puro", para quem as exigências de precisão e rigor são uma constante. (A este respeito, é interessante referir as querelas que teve com contemporâneos, nomeadamente "práticos", em que são frequentes as suas defesas altivas da superioridade do saber científico.) O matemático português foi, neste século e no seguinte, um caso único, aliás não só em Portugal como em toda a Península Ibérica. "Fuera de una y otra nación [Portugal e Espanha] vivió espiritualmente", diz J. Rey Pastor (Los matemáticos españoles del siglo XVI, Madrid, 1926).
A Academia das Ciências de Lisboa iniciou nos anos 40 um notável projecto de publicação das Obras de Pedro Nunes. Dos seis volumes previstos, foram publicados quatro, estando a série interrompida há quase 40 anos, praticamente desde a morte do seu grande impulsionador, o professor de Coimbra Joaquim de Carvalho. Seria uma pena que a publicação não fosse completada, por exemplo a tempo do 5(o) centenário do nascimento de Pedro Nunes, em 2002.
Deixamos a seguir um apontamento, muito resumido e incompleto, sobre outras actividades matemáticas em Portugal nos séculos XVI a XVIII.
Pedro Nunes foi cosmógrafo-mor do Reino a partir de 1547, um cargo criado nessa data. Uma das obrigações do cosmógrafo-mor era uma aula diária de Matemática (aplicada à náutica, já se vê). O cargo foi abolido em 1779 para dar lugar à Academia Real de Marinha.
No Colégio jesuíta de Santo Antão, em Lisboa, funcionou desde fins do século XVI até ao século XVIII uma Aula de Esfera, pública, que chegou a ter frequência apreciável. Para além da Matemática aplicada à navegação, aí se estudava Astronomia, Geometria, Aritmética, etc.
Além de Santo Antão e da Universidade de Évora, tiveram os jesuítas aulas de Matemática, por vezes públicas, em vários colégios, nomeadamente em Coimbra. Para ajudar a assegurar esse serviço, vieram muitos professores estrangeiros, em particular italianos e alemães. Dignos de registo, alguns com trabalhos de astronomia, náutica e cartografia, são os nomes de Grienberger (mais tarde sucessor de Clavius no Colégio Romano), Borri (que na primeira metade do século XVII divulgou entre nós as manchas solares e Galileu), Stafford, Estancel, Capassi e Carbone. Os dois últimos estão associados à criação do Observatório Astronómico do Colégio de Santo Antão.
Capassi partiu em 1729 para o Brasil com outro professor jesuíta, Diogo Soares, em cumprimento do encargo dado pelo Rei D. João V de elaborar o mapa do grande Estado transatlântico. A elaboração de mapas é aliás uma das vertentes principais da actividade matemática neste período. Já o jesuíta suíço João König, chamado em 1682 para ocupar a cadeira de Matemática da Universidade de Coimbra, vaga há muito tempo, abandonou o ensino quatro anos depois, por ordem do Governo, para elaborar um mapa de Portugal.
A partir de meados do século XVII, com a guerra da independência, recebem impulso os estudos de Matemática aplicada às actividades militares. Data desta altura a criação da Aula de Fortificação e Arquitectura Militar. Também em Santo Antão se deu atenção a estes tópicos. Muito mais tarde, no século XVIII, têm interesse os estudos de Matemática aplicada à artilharia em unidades e academias militares.
Desta breve resenha o que ressalta é a feição prática, ou aplicada, que ela sugere sobre o estudo da Matemática em Portugal neste período. Com o patrocínio do Estado ou nas escolas da Companhia de Jesus, estudam-se matérias vistas como correspondendo a necessidades concretas imediatas do País.
A consulta da lista dos trabalhos matemáticos redigidos em Portugal ou por portugueses neste período revela um panorama análogo. Nota-se uma clara predominância de obras dedicadas a temas dentro do que se poderá chamar Matemática Aplicada: náutica, efemérides astronómicas, atlas e cartas (incluindo plantas de fortalezas), geometria aplicada à fortificação, aritmética aplicada a actividades financeiras. Interessante é a frequência de registos de observações astronómicas (eclipses lunares, cometas). Pormenor a reter é o de que muitas destas obras existem apenas em manuscrito.
Parece inequívoco que, no período que nos vem interessando, a Matemática portuguesa não acompanhou nem tomou parte nos grandes avanços da época, e ao não cultivo da Matemática "Pura" poderá ser associada a necessidade frequente de recrutar professores estrangeiros para assegurar o ensino, mesmo da Matemática elementar, nas nossas escolas, por cá não haver quem o fizesse.
O quadro mental e cultural português no período em causa está suficientemente documentado e estudado e não é necessário recordá-lo aqui. Os seus reflexos na nossa vida matemática (ou falta dela) decorrem basicamente do facto de que os grandes progressos científicos da época estiveram em geral associados a propostas filosóficas contra as quais as autoridades políticas e religiosas nacionais estavam em prevenção constante, o que produzia uma explícita atitude de recusa genérica da novidade na instrução. Quanto à situação geral do País, menos ainda é preciso evocá-la como pano de fundo para tudo o resto.
Na primeira metade do século XVIII, entretanto, multiplicam-se os sinais de uma mudança de ambiente. Dentro e fora do país, surgem vários portugueses interessados nas modernas tendências científicas. Ocorrem, entre outros, os nomes de Jacob de Castro Sarmento (com uma newtoniana Theorica verdadeira das marés, Londres, 1737), José Soares de Barros e Vasconcelos, astrónomo muitos anos em Paris, Manuel de Azevedo Fortes, engenheiro, autor de uma Logica racional, geometrica e analytica (Lisboa, 1744), Teodoro de Almeida, da Congregação do Oratório, com a sua Recreação Philosophica, e os jesuítas Eusébio da Veiga, astrónomo em Lisboa, Manuel de Campos e Inácio Monteiro. Todos estes autores merecem análises modernas (só o último deles foi estudado em trabalhos recentes, de Resina Rodrigues e Ana Isabel Rosendo).
Quais foram os trabalhos matemáticos feitos por Niels Henrik Abel?
No seu primeiro trabalho publicado (1823) criou as funções elípticas, gerando toda a análise do século XIX. Iniciou, então, o estudo sistemático das funções algébricas e formulou as idéias gerais da teoria da convergência, e demonstrou que equações de quinto grau ou superiores não tinham resolução algébrica (1824). Depois visitou Praga, Viena, Itália e Paris, onde apresentou uma dissertação sobre integrais de funções algébricas, só publicada 12 anos após sua morte. Em Paris publicou Memória sobre uma propriedade geral de uma classe muito extensa de funções transcendentes (1826). Ainda no Journal publicou a demonstração das lemniscáticas (1828). Postumamente foi nomeado professor da Universidade de Berlim, posto que Crelle havia conseguido então tarde demais, e ganhou um prêmio do Instituto Francês (1841), por seus trabalhos com funções elípticas, teoria publicada pela Academia Francesa de Ciências.
domingo, 25 de outubro de 2009
Curiosidades
Data histórica: 20/02 de 2002
Quarta-feira, dia 20 de fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio.
Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.
É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que dão o mesmo número quando lidos da esquerda para a direita, ou vice-versa). A raridade deve-se ao fato de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).
A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar.
Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30
Quarta-feira, dia 20 de fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio.
Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.
É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que dão o mesmo número quando lidos da esquerda para a direita, ou vice-versa). A raridade deve-se ao fato de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).
A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar.
Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30
sexta-feira, 23 de outubro de 2009
Jogos Matemáticos
Quadrados de números inteiros
O quadrado de um numero é um dos inteiros da série 1, 4, 9, 16, 25, etc. Não se torna difícil verificar a relação entre os membros consecutivos desta série. Verificamos que se somarmos o quadrado de x , mais duas vezes x mais 1 , o próximo quadrado sucessivo é obtido.
Por exemplo:
52 + 2.5 + 1 = 25+10+ 1 = 36 = 62
Se soubermos o valor de um determinado número ao quadrado, o próximo numero é facilmente obtido.
Exemplo: Sabendo que o quadrado de 18 é 324 , temos:
192 = 182 + 2.18 + 1 = 324+36+ 1 = 361
A razão para tal fato verifica-se pela relação algébrica:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
19 = (18 + 1) = 182 + 2.18.1 + 12 = 361
O quadrado de um numero é um dos inteiros da série 1, 4, 9, 16, 25, etc. Não se torna difícil verificar a relação entre os membros consecutivos desta série. Verificamos que se somarmos o quadrado de x , mais duas vezes x mais 1 , o próximo quadrado sucessivo é obtido.
Por exemplo:
52 + 2.5 + 1 = 25+10+ 1 = 36 = 62
Se soubermos o valor de um determinado número ao quadrado, o próximo numero é facilmente obtido.
Exemplo: Sabendo que o quadrado de 18 é 324 , temos:
192 = 182 + 2.18 + 1 = 324+36+ 1 = 361
A razão para tal fato verifica-se pela relação algébrica:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
19 = (18 + 1) = 182 + 2.18.1 + 12 = 361
ARTIGO MATEMÁTICOS
1. JANELAS MATEMÁTICAS
portal sobre matemática. Aqui você vai encontra desafios, jogos, misterios, história, aulas, exercícios, questões de vestibulares e muito mais. ...
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Artigo: Você sabia que existem números felizes?
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
Especial para a Folha de S. Paulo
Escolha um número natural maior do que 1 e calcule a soma dos quadrados dos seus algarismos. Pegue o número encontrado e repita a operação, calculando a soma dos quadrados dos seus algarismos. Repetindo esse processo sucessivamente, quando a seqüência calculada termina em 1, dizemos que o número submetido ao processo é um número "feliz", caso contrário, ele é chamado de número "triste". Por exemplo, pode-se verificar que o número 4.599 é feliz fazendo as seguintes contas: 4²+5²+9²+9²=203; 2²+0²+3²=13; 1²+3²=10; 1²+0²=1.
Uma vez encontrado um número feliz, outros tantos também podem ser obtidos observando-se a seqüência usada no processo de verificação da "felicidade" do número. Por exemplo, no caso de 4.599, a seqüência de verificação nos garante que os números 10, 13 e 203 também são felizes.
Qualquer permutação dos algarismos de um número feliz irá gerar outro número feliz, como é o caso, por exemplo, de 9.549, obtido a partir de uma permutação dos algarismos de 4.599. Além disso, a introdução de zeros em um número feliz sempre conduz a um outro número feliz, como são os casos dos números 45.990, 459.900, 4.599.000 etc. Essa observação nos delega a certeza de que existem infinitos números felizes.
O leitor poderá verificar por conta própria que os números tristes não têm um ponto final fixo, viajando eternamente em torno do mesmo ciclo: 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, voltando ao 4.
Encontrar novos números felizes é um bom exercício para o raciocínio, mas tem gente levando a sério demais o que não passa de uma brincadeira para os matemáticos. No início deste ano, um numerólogo afirmou em entrevista que, diferentemente de 2003, que foi feliz do ponto de vista numerológico, o período de 2004 a 2007 será extremamente desfavorável. Tudo nos leva a crer que a análise pessimista se fundamenta na definição de números felizes e tristes, já que, sob esse ponto de vista, 2003 e 2008 são números felizes, e, de 2004 a 2007, temos um intervalo de números tristes.
Utilizando a mesma subjetividade presente no jogo de palavras do numerólogo, proponho um desafio ao leitor. Adivinhe a idade de João a partir do seguinte diálogo com sua filha Ana: (Ana) "Pai, você não se acha muito quadrado?"; (João) "Querida filha, sou quadrado, mas sou feliz". A resposta do desafio será enviada por e-mail. Um feliz 2004 a todos!
José Luiz Pastore Mello é licenciado em matemática e mestrando em educação pela USP.E-mail: jlpmello@uol.com.brArtigo:
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Artigo: Você sabia que existem números felizes?
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
Especial para a Folha de S. Paulo
Escolha um número natural maior do que 1 e calcule a soma dos quadrados dos seus algarismos. Pegue o número encontrado e repita a operação, calculando a soma dos quadrados dos seus algarismos. Repetindo esse processo sucessivamente, quando a seqüência calculada termina em 1, dizemos que o número submetido ao processo é um número "feliz", caso contrário, ele é chamado de número "triste". Por exemplo, pode-se verificar que o número 4.599 é feliz fazendo as seguintes contas: 4²+5²+9²+9²=203; 2²+0²+3²=13; 1²+3²=10; 1²+0²=1.
Uma vez encontrado um número feliz, outros tantos também podem ser obtidos observando-se a seqüência usada no processo de verificação da "felicidade" do número. Por exemplo, no caso de 4.599, a seqüência de verificação nos garante que os números 10, 13 e 203 também são felizes.
Qualquer permutação dos algarismos de um número feliz irá gerar outro número feliz, como é o caso, por exemplo, de 9.549, obtido a partir de uma permutação dos algarismos de 4.599. Além disso, a introdução de zeros em um número feliz sempre conduz a um outro número feliz, como são os casos dos números 45.990, 459.900, 4.599.000 etc. Essa observação nos delega a certeza de que existem infinitos números felizes.
O leitor poderá verificar por conta própria que os números tristes não têm um ponto final fixo, viajando eternamente em torno do mesmo ciclo: 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, voltando ao 4.
Encontrar novos números felizes é um bom exercício para o raciocínio, mas tem gente levando a sério demais o que não passa de uma brincadeira para os matemáticos. No início deste ano, um numerólogo afirmou em entrevista que, diferentemente de 2003, que foi feliz do ponto de vista numerológico, o período de 2004 a 2007 será extremamente desfavorável. Tudo nos leva a crer que a análise pessimista se fundamenta na definição de números felizes e tristes, já que, sob esse ponto de vista, 2003 e 2008 são números felizes, e, de 2004 a 2007, temos um intervalo de números tristes.
Utilizando a mesma subjetividade presente no jogo de palavras do numerólogo, proponho um desafio ao leitor. Adivinhe a idade de João a partir do seguinte diálogo com sua filha Ana: (Ana) "Pai, você não se acha muito quadrado?"; (João) "Querida filha, sou quadrado, mas sou feliz". A resposta do desafio será enviada por e-mail. Um feliz 2004 a todos!
José Luiz Pastore Mello é licenciado em matemática e mestrando em educação pela USP.E-mail: jlpmello@uol.com.brArtigo:
domingo, 18 de outubro de 2009
Artigos Matemáticos
Hiperatividade e Aprendizagem de Matemática
Autor: Mário Félix
"Nosso cérebro é o melhor brinquedo já criado, nele se encontram todos os segredos, inclusive o da felicidade” (Charles Chaplin).
O transtorno de déficit de atenção / hiperatividade (TDA/H) tem sido apontado como uma das principais causas do fracasso escolar e em especial, no que se refere ao aprendizado da educação matemática nas séries iniciais, ou seja, na educação fundamental. Entende-se aqui como sendo portadoras de TDA/H, crianças previamente diagnosticadas por professores, coordenadores, pediatras, neurologistas, psicólogos, psiquiatras e pais, que apresentam distúrbios ou não de aprendizado, mas que mantêm visíveis alterações de comportamento, diferenciando-se dentro do contexto escolar das outras crianças ditas “normais”. Portanto, surge aqui uma primeira dificuldade, uma vez que o diagnóstico de TDA/H é caracterizado pelos aspectos apresentados na quarta edição do Manual Diagnóstico e Estatístico de Transtornos Mentais (DSM-IV) da Associação Psiquiátrica Americana (APA). Para o diagnóstico clínico, é necessário associar a TDA/H a alterações do metabolismo cerebral (Bastos, 2003). Todavia, esse manual não deve ser apontado como o referencial último para o diagnóstico, tendo em vista as controvérsias em torno do conceito de hiperatividade, sendo algumas delas verificadas neste artigo. Mesmo na comunidade médica, não há um consenso, uma vez que diversas pesquisas referentes ao tema têm seu conteúdo questionado, por não apresentarem uma boa base de argumentação científica e, muitas vezes, atenderem a interesses diversos, como por exemplo: os das indústrias farmacêuticas. Na maioria das vezes, o diagnóstico é feito por pessoas leigas, que tomam como referência apenas o fato da criança apresentar algum desvio de conduta, em relação ao pressuposto da normalidade escolar.
Tal fato torna a maioria dos diagnósticos, sem os devidos estudos associados aos casos, muito perigosos, uma vez que podem levar a conclusões errôneas, principalmente porque as dificuldades de aprendizagem podem ter diversas outras causas, como por exemplo: dislexia, discalculia, disgrafia, problemas sociais e de comportamento, entre outros. Consideramos aqui neste artigo os indivíduos que apresentam um conjunto variável de comportamentos inadequados, tais como movimentação física excessiva e despropositada, dificuldade para concentrar-se em tarefas propostas, agressividade difusa e não justificada, associadas a queixa de mau rendimento escolar como sendo possíveis portadores de TDA/H, cujo aprendizado em Matemática será analisado. (Sucupira, 1985)
O aprendizado da Matemática não é linear, embora uma grande parcela da sociedade considere que o seja. Esta não linearidade significa que um conteúdo não aprendido em determinada fase pode ser estudado posteriormente e, finalmente, uma possível lacuna outrora deixada aberta pode ser preenchida. No geral, a Matemática é considerada a ciência que tem como objeto de estudo a quantidade e o espaço, ou seja, o número e a forma. Esta é uma definição considerada primitiva, pois sabe-se que o conceito da Matemática vai mais além, por ser uma ciência exata, que comprova e verifica de forma regular as descobertas de outras ciências. Embora não esteja pautada em fenômenos naturais comprovados empiricamente, ela se desenvolve como linguagem, o que constitui um meio de comunicação e uma ferramenta usada para descrever e analisar problemas, bem como intervir nas suas soluções.
Sabe-se que o processo que envolve o aprendizado matemático é inerente ao funcionamento da inteligência humana e se manifesta nos primeiros dias de vida, na tentativa de estabelecer relações (Piaget, 1978). Daí há uma aproximação com a arte em seu contexto natural e inato: a arte pela arte. Já enquanto ciência, a Matemática reporta-se a fenômenos naturais comprovados empiricamente. Esta ciência exige raciocínio hipotético dedutivo: imagina-se respostas aos problemas e busca-se prová-las até torná-las consistentes mediante o apoio de verdades já estabelecidas, chamadas de axiomas, a partir das quais se pode fazer demonstrações lógicas e chegar a novos resultados ou teoremas. As novas descobertas ou os novos teoremas precisam ser comunicados, donde a necessidade de uma linguagem própria à matemática. Como conseqüência, o conhecimento matemático é axiomático-dedutivo, embora isso não signifique que esse conhecimento é acabado, pois está em permanente construção. (Ponte e Serrazina, 2003)
Alguns indivíduos supostamente portadores de TDA/H apresentam dificuldades em Matemática, outros não. Acontece que, de forma errônea, muitos portadores de discalculia ou dislexia 1 são “diagnosticados” como portadores de TDA/H. O fato é que, ao apresentar problemas de aprendizado, o educando costuma sofrer de alterações comportamentais e, frequentemente, estas dificuldades acabam levando a pessoa a assumir uma atitude negativa perante o estudo da disciplina, sendo “taxadas” de hiperativas por conta do seu comportamento. Mas, segundo Bastos (2003), uma criança hiperativa possui uma capacidade de abstração muito grande, que leva a um potencial intelectual e criativo bastante elevado. Sendo assim, cria-se um paradoxo: por sua natureza dedutivo-axiomática, a Matemática necessita de um campo abstrato e investigatório para se desenvolver em qualquer indivíduo, isso sem levar em consideração as idades de cálculos concretos e abstratos pelas quais as crianças passam ao longo do seu desenvolvimento. Com base neste fato, é um erro considerar que uma criança supostamente portadora de TDA/H será também desprovida de requisitos básicos para o aprendizado matemático, ou mesmo afirmar de forma categórica que seu insucesso se deva a uma possível TDA/H; ao contrário: isso explica o porquê dessas “agitadas” crianças terem, muitas vezes, um bom desempenho na Matemática, sendo que esse desempenho não se verifica em outras disciplinas.
Todavia, um bom raciocínio abstrato e capacidade lógica não são suficientes para garantirem sucesso, não por conta das estruturas cognitivas do sujeito, e sim porque a Matemática – não se pode negar – exige boa memória, capacidade de abstração, um certo nível de concentração e dedicação aos estudos. Sendo assim, os problemas de memória que parecem surgir em atividades rotineiras – podendo ser exemplificados por esquecimentos de objetos ou informações importantes para a execução de alguma atividade – podem prejudicar a aprendizagem matemática das crianças supostamente portadoras de TDA/H. Cabe ainda ressaltar que a inconsistência e as flutuações no comportamento, ora apresentando-se de uma forma, ora de forma oposta, freqüentemente presentes em indivíduos com TDA/H, também podem prejudicar seu aprendizado. (Flick apud Bastos, 2003)
No geral, um dos principais transtornos que afetam o aprendizado da Matemática é a discalculia, a qual não é relacionada à ausência de habilidades matemáticas básicas, como contagem, e sim, à forma com que a criança associa essas habilidades ao mundo que a cerca (Bastos, 2003). A aquisição de conceitos matemáticos e outras atividades que exigem raciocínio são afetadas neste transtorno, cuja baixa capacidade para manejar números e conceitos matemáticos não é originada por uma lesão ou outra causa orgânica. Normalmente, a dificuldade de aprendizagem matemática é encontrada em combinação com o transtorno da leitura ou Transtorno da Expressão Escrita e tais domínios não estão diretamente relacionados à TDA/H. Não existe uma causa única e simples que possa justificar as dificuldades com a Linguagem Matemática, as quais podem ocorrer por falta de habilidade para determinação de razão matemática ou pela dificuldade em elaboração de cálculo matemático. Essas dificuldades estão atreladas a fatores diversos, podendo estar vinculadas a problemas como o domínio da leitura e/ou da escrita, que afetam a compreensão global de um texto ou problema, bem como o próprio processamento da linguagem (Luczynski, 2003).
Por fim, se não existe um consenso sobre a TDA/H nos meios acadêmico e científico, fica difícil estabelecer relações entre este transtorno e a aprendizagem matemática. Portanto, não se tem uma real comprovação de que a TDA/H possa ser considerada uma disfunção causadora de dificuldades no aprendizado da matemática ou mesmo afirmar que crianças portadoras de TDA/H são propensas a um aprendizado mais facilmente absorvido.
1- Dificuldade específica de aprendizado da linguagem: em leitura, escrita, em linguagem expressiva ou receptiva, em razão e cálculos matemáticos. (Luczynski, 2003)
Referências:
BASTOS, F.L. e BUENO, M. C. Diabinhos: Tudo sobre Transtorno de Déficit de Atenção/Hiperatividade. (mimeo)
BASTOS, F.L. Neurosciences for Kids Brasil. Disponível em http://br.geocities.com/neurokidsbr/. Arquivo capturado em 22 de outubro de 2006.
BOSSA, Nadia A. Fundamentos da Psicologia. In: Nadia A. Bossa. A Psicopedagogia no Brasil. Contribuições a partir da prática, 2ª edição, Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.
LUCZYNSKI, Zeneida B. Dislexia, você sabe o que é? Disponível em http://www.dislexia.com.br/. Arquivo capturado em 08 de novembro de 2006.
MATTOS, P. (1999). TDAHI: Diagnóstico e causas. Arquivo capturado em 1º de outubro de 1999 disponível em http//www.dda.med.br
PIAGET, J. O nascimento da inteligência na criança. 3.ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978.
PLENAMENTE. Transtornos de Aprendizagem. Disponível em http://www. plenamente.com.br/diagnosticos7.htm. Arquivo capturado em 22 de outubro de 2006.
PONTE, J. P. e SERRAZINA, L. As práticas dos professores de Matemática em Portugal. Educação e Matemática. Lisboa: APM, 2004.
SUCUPIRA, Ana Cecília S. L. Hiperatividade: doença ou rótulo? Caderno CEDES, nº 15, 1985.
Mário Félix - Licenciado em Matemática – UNIFACS e Pós-Graduado de Pedagogia com Ênfase em Orientação Educacional- UNIFACS
Autor: Mário Félix
"Nosso cérebro é o melhor brinquedo já criado, nele se encontram todos os segredos, inclusive o da felicidade” (Charles Chaplin).
O transtorno de déficit de atenção / hiperatividade (TDA/H) tem sido apontado como uma das principais causas do fracasso escolar e em especial, no que se refere ao aprendizado da educação matemática nas séries iniciais, ou seja, na educação fundamental. Entende-se aqui como sendo portadoras de TDA/H, crianças previamente diagnosticadas por professores, coordenadores, pediatras, neurologistas, psicólogos, psiquiatras e pais, que apresentam distúrbios ou não de aprendizado, mas que mantêm visíveis alterações de comportamento, diferenciando-se dentro do contexto escolar das outras crianças ditas “normais”. Portanto, surge aqui uma primeira dificuldade, uma vez que o diagnóstico de TDA/H é caracterizado pelos aspectos apresentados na quarta edição do Manual Diagnóstico e Estatístico de Transtornos Mentais (DSM-IV) da Associação Psiquiátrica Americana (APA). Para o diagnóstico clínico, é necessário associar a TDA/H a alterações do metabolismo cerebral (Bastos, 2003). Todavia, esse manual não deve ser apontado como o referencial último para o diagnóstico, tendo em vista as controvérsias em torno do conceito de hiperatividade, sendo algumas delas verificadas neste artigo. Mesmo na comunidade médica, não há um consenso, uma vez que diversas pesquisas referentes ao tema têm seu conteúdo questionado, por não apresentarem uma boa base de argumentação científica e, muitas vezes, atenderem a interesses diversos, como por exemplo: os das indústrias farmacêuticas. Na maioria das vezes, o diagnóstico é feito por pessoas leigas, que tomam como referência apenas o fato da criança apresentar algum desvio de conduta, em relação ao pressuposto da normalidade escolar.
Tal fato torna a maioria dos diagnósticos, sem os devidos estudos associados aos casos, muito perigosos, uma vez que podem levar a conclusões errôneas, principalmente porque as dificuldades de aprendizagem podem ter diversas outras causas, como por exemplo: dislexia, discalculia, disgrafia, problemas sociais e de comportamento, entre outros. Consideramos aqui neste artigo os indivíduos que apresentam um conjunto variável de comportamentos inadequados, tais como movimentação física excessiva e despropositada, dificuldade para concentrar-se em tarefas propostas, agressividade difusa e não justificada, associadas a queixa de mau rendimento escolar como sendo possíveis portadores de TDA/H, cujo aprendizado em Matemática será analisado. (Sucupira, 1985)
O aprendizado da Matemática não é linear, embora uma grande parcela da sociedade considere que o seja. Esta não linearidade significa que um conteúdo não aprendido em determinada fase pode ser estudado posteriormente e, finalmente, uma possível lacuna outrora deixada aberta pode ser preenchida. No geral, a Matemática é considerada a ciência que tem como objeto de estudo a quantidade e o espaço, ou seja, o número e a forma. Esta é uma definição considerada primitiva, pois sabe-se que o conceito da Matemática vai mais além, por ser uma ciência exata, que comprova e verifica de forma regular as descobertas de outras ciências. Embora não esteja pautada em fenômenos naturais comprovados empiricamente, ela se desenvolve como linguagem, o que constitui um meio de comunicação e uma ferramenta usada para descrever e analisar problemas, bem como intervir nas suas soluções.
Sabe-se que o processo que envolve o aprendizado matemático é inerente ao funcionamento da inteligência humana e se manifesta nos primeiros dias de vida, na tentativa de estabelecer relações (Piaget, 1978). Daí há uma aproximação com a arte em seu contexto natural e inato: a arte pela arte. Já enquanto ciência, a Matemática reporta-se a fenômenos naturais comprovados empiricamente. Esta ciência exige raciocínio hipotético dedutivo: imagina-se respostas aos problemas e busca-se prová-las até torná-las consistentes mediante o apoio de verdades já estabelecidas, chamadas de axiomas, a partir das quais se pode fazer demonstrações lógicas e chegar a novos resultados ou teoremas. As novas descobertas ou os novos teoremas precisam ser comunicados, donde a necessidade de uma linguagem própria à matemática. Como conseqüência, o conhecimento matemático é axiomático-dedutivo, embora isso não signifique que esse conhecimento é acabado, pois está em permanente construção. (Ponte e Serrazina, 2003)
Alguns indivíduos supostamente portadores de TDA/H apresentam dificuldades em Matemática, outros não. Acontece que, de forma errônea, muitos portadores de discalculia ou dislexia 1 são “diagnosticados” como portadores de TDA/H. O fato é que, ao apresentar problemas de aprendizado, o educando costuma sofrer de alterações comportamentais e, frequentemente, estas dificuldades acabam levando a pessoa a assumir uma atitude negativa perante o estudo da disciplina, sendo “taxadas” de hiperativas por conta do seu comportamento. Mas, segundo Bastos (2003), uma criança hiperativa possui uma capacidade de abstração muito grande, que leva a um potencial intelectual e criativo bastante elevado. Sendo assim, cria-se um paradoxo: por sua natureza dedutivo-axiomática, a Matemática necessita de um campo abstrato e investigatório para se desenvolver em qualquer indivíduo, isso sem levar em consideração as idades de cálculos concretos e abstratos pelas quais as crianças passam ao longo do seu desenvolvimento. Com base neste fato, é um erro considerar que uma criança supostamente portadora de TDA/H será também desprovida de requisitos básicos para o aprendizado matemático, ou mesmo afirmar de forma categórica que seu insucesso se deva a uma possível TDA/H; ao contrário: isso explica o porquê dessas “agitadas” crianças terem, muitas vezes, um bom desempenho na Matemática, sendo que esse desempenho não se verifica em outras disciplinas.
Todavia, um bom raciocínio abstrato e capacidade lógica não são suficientes para garantirem sucesso, não por conta das estruturas cognitivas do sujeito, e sim porque a Matemática – não se pode negar – exige boa memória, capacidade de abstração, um certo nível de concentração e dedicação aos estudos. Sendo assim, os problemas de memória que parecem surgir em atividades rotineiras – podendo ser exemplificados por esquecimentos de objetos ou informações importantes para a execução de alguma atividade – podem prejudicar a aprendizagem matemática das crianças supostamente portadoras de TDA/H. Cabe ainda ressaltar que a inconsistência e as flutuações no comportamento, ora apresentando-se de uma forma, ora de forma oposta, freqüentemente presentes em indivíduos com TDA/H, também podem prejudicar seu aprendizado. (Flick apud Bastos, 2003)
No geral, um dos principais transtornos que afetam o aprendizado da Matemática é a discalculia, a qual não é relacionada à ausência de habilidades matemáticas básicas, como contagem, e sim, à forma com que a criança associa essas habilidades ao mundo que a cerca (Bastos, 2003). A aquisição de conceitos matemáticos e outras atividades que exigem raciocínio são afetadas neste transtorno, cuja baixa capacidade para manejar números e conceitos matemáticos não é originada por uma lesão ou outra causa orgânica. Normalmente, a dificuldade de aprendizagem matemática é encontrada em combinação com o transtorno da leitura ou Transtorno da Expressão Escrita e tais domínios não estão diretamente relacionados à TDA/H. Não existe uma causa única e simples que possa justificar as dificuldades com a Linguagem Matemática, as quais podem ocorrer por falta de habilidade para determinação de razão matemática ou pela dificuldade em elaboração de cálculo matemático. Essas dificuldades estão atreladas a fatores diversos, podendo estar vinculadas a problemas como o domínio da leitura e/ou da escrita, que afetam a compreensão global de um texto ou problema, bem como o próprio processamento da linguagem (Luczynski, 2003).
Por fim, se não existe um consenso sobre a TDA/H nos meios acadêmico e científico, fica difícil estabelecer relações entre este transtorno e a aprendizagem matemática. Portanto, não se tem uma real comprovação de que a TDA/H possa ser considerada uma disfunção causadora de dificuldades no aprendizado da matemática ou mesmo afirmar que crianças portadoras de TDA/H são propensas a um aprendizado mais facilmente absorvido.
1- Dificuldade específica de aprendizado da linguagem: em leitura, escrita, em linguagem expressiva ou receptiva, em razão e cálculos matemáticos. (Luczynski, 2003)
Referências:
BASTOS, F.L. e BUENO, M. C. Diabinhos: Tudo sobre Transtorno de Déficit de Atenção/Hiperatividade. (mimeo)
BASTOS, F.L. Neurosciences for Kids Brasil. Disponível em http://br.geocities.com/neurokidsbr/. Arquivo capturado em 22 de outubro de 2006.
BOSSA, Nadia A. Fundamentos da Psicologia. In: Nadia A. Bossa. A Psicopedagogia no Brasil. Contribuições a partir da prática, 2ª edição, Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.
LUCZYNSKI, Zeneida B. Dislexia, você sabe o que é? Disponível em http://www.dislexia.com.br/. Arquivo capturado em 08 de novembro de 2006.
MATTOS, P. (1999). TDAHI: Diagnóstico e causas. Arquivo capturado em 1º de outubro de 1999 disponível em http//www.dda.med.br
PIAGET, J. O nascimento da inteligência na criança. 3.ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978.
PLENAMENTE. Transtornos de Aprendizagem. Disponível em http://www. plenamente.com.br/diagnosticos7.htm. Arquivo capturado em 22 de outubro de 2006.
PONTE, J. P. e SERRAZINA, L. As práticas dos professores de Matemática em Portugal. Educação e Matemática. Lisboa: APM, 2004.
SUCUPIRA, Ana Cecília S. L. Hiperatividade: doença ou rótulo? Caderno CEDES, nº 15, 1985.
Mário Félix - Licenciado em Matemática – UNIFACS e Pós-Graduado de Pedagogia com Ênfase em Orientação Educacional- UNIFACS
Jogos Matemáticos
A Importância dos Jogos na Aprendizagem Matemática das Crianças de 4 a 6 Anos
A relação entre o jogo e a matemática, possui atenção de vários autores, e constitui-se numa abordagem significativa, principalmente na educação infantil, pois, é nesse período que as crianças devem encontrar o espaço para explorar e descobrir elementos da realidade que a cerca. A criança deve ter oportunidade de vivenciar situações ricas e desafiadoras, as quais são proporcionadas pela utilização dos jogos como recurso pedagógico.
De acordo com Schwartz (1966) a noção de jogo aplicado à educação desenvolveu-se vagarosamente e penetrou, tardiamente, no âmbito escolar, sendo sistematizada com atraso. Porém, trouxe transformações significativas, fazendo com que a aprendizagem se tornasse divertida.
A discussão sobre a importância dos jogos no ensino da Matemática, vem sendo debatida há algum tempo. Sendo bastante questionado o fato da criança realmente aprender Matemática brincando e a intervenção do professor. Por isso, ao optar por trabalhar a matemática por meio dos jogos, o professor deve levar em conta a importância da definição dos conteúdos e das habilidades presentes nas brincadeiras e o planejamento de sua ação com o objetivo de o jogo não se tornar um mero lazer.
A matemática faz-se presente em diversas atividades realizadas pelas crianças, oferece aos homens em geral, varias situações que possibilitam o desenvolvimento do raciocínio lógico, da criatividade e a capacidade de resolver problemas. O ensino dessa disciplina pode potencializar essas capacidades, ampliando as possibilidades dos alunos de compreender e transformar a realidade.
Dentre os muitos objetivos do ensino de Matemática, encontra-se o de ensinar a resolver problemas, e as situações de jogos representam uma boa situação-problema, na medida em que o professor sabe propor boas questões aos alunos, potencializando suas capacidades para compreender e explicar os fatos e conceitos da Matemática.
Segundo BOAVIDA, (1992) O principal objectivo da educação é ensinar os mais novos a pensar e a resolução de problemas constitui uma arte prática que todos os alunos podem aprender.
Miguel de Guzmán (1986) valoriza a utilização dos jogos para o ensino da matemática, sobretudo porque os jogos não apenas divertem, mas, também extrai das atividades, materiais suficiente para gerar conhecimento, interessar e fazer com que os estudantes pensem com certa motivação.
De acordo com Borin, (1996) um dos motivos para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados pelos alunos.
Assim sendo o ensino da matemática na educação infantil deve priorizar o avanço do conhecimento das crianças, perante situações significativas de aprendizagem sendo que o ensino por meio dos jogos deve acontecer de forma a auxiliar no ensino do conteúdo, propiciando a aquisição de habilidades e o desenvolvimento operatório da criança.
Referências
AGUIAR, J. S. Jogos para o ensino de conceitos: Leitura e Escrita na pré-escola. Papirus Editora, 1999
BRASIL. 1998. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Referencial curricular nacional para a educação infantil. Brasília.
OLIVEIRA, Zilma de Moraes Ramos de (org). 2000. Educação infantil: muitos olhares. 4.ed. São Paulo: Cortez
A relação entre o jogo e a matemática, possui atenção de vários autores, e constitui-se numa abordagem significativa, principalmente na educação infantil, pois, é nesse período que as crianças devem encontrar o espaço para explorar e descobrir elementos da realidade que a cerca. A criança deve ter oportunidade de vivenciar situações ricas e desafiadoras, as quais são proporcionadas pela utilização dos jogos como recurso pedagógico.
De acordo com Schwartz (1966) a noção de jogo aplicado à educação desenvolveu-se vagarosamente e penetrou, tardiamente, no âmbito escolar, sendo sistematizada com atraso. Porém, trouxe transformações significativas, fazendo com que a aprendizagem se tornasse divertida.
A discussão sobre a importância dos jogos no ensino da Matemática, vem sendo debatida há algum tempo. Sendo bastante questionado o fato da criança realmente aprender Matemática brincando e a intervenção do professor. Por isso, ao optar por trabalhar a matemática por meio dos jogos, o professor deve levar em conta a importância da definição dos conteúdos e das habilidades presentes nas brincadeiras e o planejamento de sua ação com o objetivo de o jogo não se tornar um mero lazer.
A matemática faz-se presente em diversas atividades realizadas pelas crianças, oferece aos homens em geral, varias situações que possibilitam o desenvolvimento do raciocínio lógico, da criatividade e a capacidade de resolver problemas. O ensino dessa disciplina pode potencializar essas capacidades, ampliando as possibilidades dos alunos de compreender e transformar a realidade.
Dentre os muitos objetivos do ensino de Matemática, encontra-se o de ensinar a resolver problemas, e as situações de jogos representam uma boa situação-problema, na medida em que o professor sabe propor boas questões aos alunos, potencializando suas capacidades para compreender e explicar os fatos e conceitos da Matemática.
Segundo BOAVIDA, (1992) O principal objectivo da educação é ensinar os mais novos a pensar e a resolução de problemas constitui uma arte prática que todos os alunos podem aprender.
Miguel de Guzmán (1986) valoriza a utilização dos jogos para o ensino da matemática, sobretudo porque os jogos não apenas divertem, mas, também extrai das atividades, materiais suficiente para gerar conhecimento, interessar e fazer com que os estudantes pensem com certa motivação.
De acordo com Borin, (1996) um dos motivos para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados pelos alunos.
Assim sendo o ensino da matemática na educação infantil deve priorizar o avanço do conhecimento das crianças, perante situações significativas de aprendizagem sendo que o ensino por meio dos jogos deve acontecer de forma a auxiliar no ensino do conteúdo, propiciando a aquisição de habilidades e o desenvolvimento operatório da criança.
Referências
AGUIAR, J. S. Jogos para o ensino de conceitos: Leitura e Escrita na pré-escola. Papirus Editora, 1999
BRASIL. 1998. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Referencial curricular nacional para a educação infantil. Brasília.
OLIVEIRA, Zilma de Moraes Ramos de (org). 2000. Educação infantil: muitos olhares. 4.ed. São Paulo: Cortez
Piadas
Piadas de matemáticos.....?
Se vc é daqueles matemáticos que contam piadas para seus amigos, e só vc entende e fica rindo sozinho.... aqui que vc ganha companhia pra dar risadas!!!!!
1)Sabe por que é perda de tempo discutir com uma PG?
R: Ela sempre tem razão
2) Existe um animal que tem aproximadamente 3,14 olhos sabe qual?
R: é o pi-olho
3) Sabe por que o queijo é o derivado do leite?
R: Porque o leite é integral
4) O volume de uma onça morta é dado por: 4/3 x PI x r³, sabe porque?
R: uma onça morta é uma ex-fera
5) Qual é o cúmulo da matemática?
R: Pedir Um X Burguer E Calcular O X
Piada do Joãozinho
Joãozinho esta indo muito mal de matemática.Os pais já tentaram de tudo:
aulas particulares, brinquedos educativos, centros especializados, terapia,
nada adiantou. Ai ouvem dizer que ha uma escola de freiras no bairro que e
muito boa, e resolvem fazer mais uma tentativa. No primeiro dia, Joãozinho
volta para casa com a cara seria e vai direto para o quarto, sem nem mesmo
cumprimentar a mãe. Ele senta na escrivaninha e estuda. Estuda sem parar. A
mãe o chama para jantar. Ele janta rapidinho e volta imediatamente aos
estudos. A mãe nem acredita. Isso dura já algumas semanas. Um dia,
Joãozinho
volta para casa com o boletim, que entrega a mãe. Nota 10 em matemática! A
mãe não se contem e pergunta:
- Filho, me diga o que fez você mudar deste jeito? Foram as freiras?
Joãozinho balança a cabeça negativamente.
- O que foi, então? - insiste a mãe - Foram os livros, a disciplina, a
estrutura de ensino, o uniforme, os colegas, O QUE FOI?
Joãozinho olha para a mãe e diz:
- No primeiro dia quando eu vi aquele cara pregado no sinal de mais,
percebi
que eles não estavam brincando.
Se vc é daqueles matemáticos que contam piadas para seus amigos, e só vc entende e fica rindo sozinho.... aqui que vc ganha companhia pra dar risadas!!!!!
1)Sabe por que é perda de tempo discutir com uma PG?
R: Ela sempre tem razão
2) Existe um animal que tem aproximadamente 3,14 olhos sabe qual?
R: é o pi-olho
3) Sabe por que o queijo é o derivado do leite?
R: Porque o leite é integral
4) O volume de uma onça morta é dado por: 4/3 x PI x r³, sabe porque?
R: uma onça morta é uma ex-fera
5) Qual é o cúmulo da matemática?
R: Pedir Um X Burguer E Calcular O X
Piada do Joãozinho
Joãozinho esta indo muito mal de matemática.Os pais já tentaram de tudo:
aulas particulares, brinquedos educativos, centros especializados, terapia,
nada adiantou. Ai ouvem dizer que ha uma escola de freiras no bairro que e
muito boa, e resolvem fazer mais uma tentativa. No primeiro dia, Joãozinho
volta para casa com a cara seria e vai direto para o quarto, sem nem mesmo
cumprimentar a mãe. Ele senta na escrivaninha e estuda. Estuda sem parar. A
mãe o chama para jantar. Ele janta rapidinho e volta imediatamente aos
estudos. A mãe nem acredita. Isso dura já algumas semanas. Um dia,
Joãozinho
volta para casa com o boletim, que entrega a mãe. Nota 10 em matemática! A
mãe não se contem e pergunta:
- Filho, me diga o que fez você mudar deste jeito? Foram as freiras?
Joãozinho balança a cabeça negativamente.
- O que foi, então? - insiste a mãe - Foram os livros, a disciplina, a
estrutura de ensino, o uniforme, os colegas, O QUE FOI?
Joãozinho olha para a mãe e diz:
- No primeiro dia quando eu vi aquele cara pregado no sinal de mais,
percebi
que eles não estavam brincando.
Curiosidades
ORIGEM DOS SINAIS
Adição ( + ) e subtração ( - )
O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.
Multiplicação ( . ) e divisão ( : )
O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.
O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão."
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :
Sinais de relação ( =, < e > )
Robert Recorde, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.
Adição ( + ) e subtração ( - )
O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.
Multiplicação ( . ) e divisão ( : )
O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.
O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão."
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :
Sinais de relação ( =, < e > )
Robert Recorde, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.
Atualidades
História do Grau
Em livros de matemática, é comum encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas, qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180?
No ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes tentavam elaborar um calendário, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita.
A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.
Logo, para os antigos egípcios e árabes, o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, porém manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.
Em livros de matemática, é comum encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas, qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180?
No ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes tentavam elaborar um calendário, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita.
A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.
Logo, para os antigos egípcios e árabes, o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, porém manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.
Curiosidades
ORIGEM DO ZERO
Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro.
O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.) usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular.
Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais.
É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura.
Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu.
Fonte. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; números e numerais, de Bernard GUNDLACH.
Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro.
O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.) usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular.
Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais.
É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura.
Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu.
Fonte. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; números e numerais, de Bernard GUNDLACH.
Grandes Matemáticos
SOPHIE GERMAIN
--------------------------------------------------------------------------------
Marie Sophie Germain é a ilustração típica do preconceito existente com relação ao trabalho feminino nos meios científicos de sua época.
Nasceu em Paris, França em primeiro de abril de 1776, filha de Marie Madelaine Gruguelin e de Ambroise François um próspero comerciante de seda. Decidida a se tornar matemática, leu tudo o que existia sobre essa disciplina na biblioteca de seu pai , e nos livros que conseguia obter, em particular obras de Arquimedes, Euler e Newton. Conseguiu também notas de aula de cursos da Ecole Polytechnique de Paris, que não permitia a presença de mulheres em suas dependências. Sua educação matemática, autodidata, muito irregular, mostrou uma série de lacunas que viriam a lhe causar transtornos futuramente. Nunca se casou; os bens de familia foram suficientes para garantir sua subsistência até a ocasião de sua morte.
Correspondeu-se com grandes matemáticos de sua época Joseph Louis Lagrange, Adrien Marie Legendre e Carl Friedrich Gauss, algumas vezes sob o pseudônimo de M. Leblanc receosa que sua condição de mulher viesse a impedir que seus trabalhos recebessem a devida atenção. Com Lagrange Sophie manteve um relacionamento de mútuo respeito sendo que esse matemático eventualmente se tornou seu conselheiro e incentivador. Para Legendre Sophie escreveu acerca de problemas sugeridos pela obra Essai sur le Théorie des Nombres de 1798 sendo que suas descobertas foram anexadas pelo autor à segunda edição desse livro. Entre 1804 e 1809 correspondeu-se com Gauss a respeito dos métodos apresentados por esse renomado matemático em suas "Disquisitiones Arithmeticae" Durante esse período produziu alguns resultados importantes relacionados com o "Último Teorema de Fermat".
Em 1811,1813 e 1816 apresentou três trabalhos teóricos sobre placas vibrantes baseados nos experimentos do físico alemão Ernst F.F. Chladni a última das quais recebeu um prêmio do Institut de France. Gauss recomendou-a fortemente para um grau de doutor honorário da Universidade de Göttingen, mas Sophie Germain morreu antes que essa honra lhe fosse concedida. Sophie Germain faleceu em 27 de Junho de 1831. Em seu atestado de óbito não aparece a profissão de cientista ou matemática mas a de rendatária.
Fontes: Dictionary of Scientific Biographies (1970-1990), Encyclopaedia Britannica, tópico "Germain, Sophie"
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Marie Sophie Germain é a ilustração típica do preconceito existente com relação ao trabalho feminino nos meios científicos de sua época.
Nasceu em Paris, França em primeiro de abril de 1776, filha de Marie Madelaine Gruguelin e de Ambroise François um próspero comerciante de seda. Decidida a se tornar matemática, leu tudo o que existia sobre essa disciplina na biblioteca de seu pai , e nos livros que conseguia obter, em particular obras de Arquimedes, Euler e Newton. Conseguiu também notas de aula de cursos da Ecole Polytechnique de Paris, que não permitia a presença de mulheres em suas dependências. Sua educação matemática, autodidata, muito irregular, mostrou uma série de lacunas que viriam a lhe causar transtornos futuramente. Nunca se casou; os bens de familia foram suficientes para garantir sua subsistência até a ocasião de sua morte.
Correspondeu-se com grandes matemáticos de sua época Joseph Louis Lagrange, Adrien Marie Legendre e Carl Friedrich Gauss, algumas vezes sob o pseudônimo de M. Leblanc receosa que sua condição de mulher viesse a impedir que seus trabalhos recebessem a devida atenção. Com Lagrange Sophie manteve um relacionamento de mútuo respeito sendo que esse matemático eventualmente se tornou seu conselheiro e incentivador. Para Legendre Sophie escreveu acerca de problemas sugeridos pela obra Essai sur le Théorie des Nombres de 1798 sendo que suas descobertas foram anexadas pelo autor à segunda edição desse livro. Entre 1804 e 1809 correspondeu-se com Gauss a respeito dos métodos apresentados por esse renomado matemático em suas "Disquisitiones Arithmeticae" Durante esse período produziu alguns resultados importantes relacionados com o "Último Teorema de Fermat".
Em 1811,1813 e 1816 apresentou três trabalhos teóricos sobre placas vibrantes baseados nos experimentos do físico alemão Ernst F.F. Chladni a última das quais recebeu um prêmio do Institut de France. Gauss recomendou-a fortemente para um grau de doutor honorário da Universidade de Göttingen, mas Sophie Germain morreu antes que essa honra lhe fosse concedida. Sophie Germain faleceu em 27 de Junho de 1831. Em seu atestado de óbito não aparece a profissão de cientista ou matemática mas a de rendatária.
Fontes: Dictionary of Scientific Biographies (1970-1990), Encyclopaedia Britannica, tópico "Germain, Sophie"
quinta-feira, 15 de outubro de 2009
Desafio
EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE. QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES???
A resposta será dada daqui alguns dias
Fonte: http://somatematica.com.br/desafios.php
A resposta será dada daqui alguns dias
Fonte: http://somatematica.com.br/desafios.php
Um estranho primo
O número primo 73939133 tem uma propriedade muito estranha. Se você remover os dígitos do final, os números obtidos também são primos. Observe:
73939133 é um número primo
7393913 é um número primo
739391 é um número primo
73939 é um número primo
7393 é um número primo
739 é um número primo
73 é um número primo
7 é um número primo
Fonte: Site "Só Matematica"
73939133 é um número primo
7393913 é um número primo
739391 é um número primo
73939 é um número primo
7393 é um número primo
739 é um número primo
73 é um número primo
7 é um número primo
Fonte: Site "Só Matematica"
Dia Nacional da Matemática
A Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) elegeu o dia 6 de maio “DIA NACIONAL DA MATEMÁTICA”, em memória da data de nascimento de Júlio César de Mello e Souza, o MALBA TAHAN.
Neste dia, fica a sugestão de promover, em todos os estados brasileiros, a realização de eventos comemorativos, com o objetivo de difundir a Matemática como área do conhecimento, sua História, possíveis relações com as demais áreas, e de colocar em discussão algumas crenças sobre o ensino atual de Matemática.
Neste dia, fica a sugestão de promover, em todos os estados brasileiros, a realização de eventos comemorativos, com o objetivo de difundir a Matemática como área do conhecimento, sua História, possíveis relações com as demais áreas, e de colocar em discussão algumas crenças sobre o ensino atual de Matemática.
Poema matemático
Ás folhas tantas do livro de matemática,...
Um quociente apaixonou-se por uma incógnita.
Olhou-acom seu olhar inumerável e viu-a,do àpice à base.
Uma figura impar olhos rombóides, boca trapézóide...
Corpo ortogonal, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela a dela até que se encontraram no infinito.
"Quem és tu?" - indagou ele com ânsia radical.
"Eu sou a (raiz quadrada da) soma dos quadrados catetos,
Mas pode me chamar de hipotenusa".
E de falarem descobriram que eram o que, em aritmética,...
Correspondente a almas irmãs, primos entre si.
E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz ...
Numas sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas,...
Curvas, círculos e linhas senoidais.
Nos jardins da quarta dimensão, escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas
E os exegetas do universo finito.
Romperam convenções Newtonianas e Pitagóricas e, enfim,...
Resolveram se casar, constituir um lar mais que um lar, uma perpendicular.
Convidaram os padrinhos: o poliedro e a bissetriz, e fizeram os planos, equações e diagramas...
Para o futuro, sonhando com uma felicidade integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos e foram...
Feliz até aquele dia em que tudo, afinal, vira monotonia.
Foi então que surgiu o máximo divisor comum, freqüentador de círculos concêntricos viciosos,
Ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominado comum...
Ele, quociente percebeu que com ela não formava mais um todo, uma unidade.
Era o triângulo tanto chamado amoroso desse problema,...
Ele era a fração mais ordinária.
Mas foi então que espúrio passou a ser moralidade, como, aliás,...
Em qualquer sociedade
Millôr Fernandes
Um quociente apaixonou-se por uma incógnita.
Olhou-acom seu olhar inumerável e viu-a,do àpice à base.
Uma figura impar olhos rombóides, boca trapézóide...
Corpo ortogonal, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela a dela até que se encontraram no infinito.
"Quem és tu?" - indagou ele com ânsia radical.
"Eu sou a (raiz quadrada da) soma dos quadrados catetos,
Mas pode me chamar de hipotenusa".
E de falarem descobriram que eram o que, em aritmética,...
Correspondente a almas irmãs, primos entre si.
E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz ...
Numas sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas,...
Curvas, círculos e linhas senoidais.
Nos jardins da quarta dimensão, escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas
E os exegetas do universo finito.
Romperam convenções Newtonianas e Pitagóricas e, enfim,...
Resolveram se casar, constituir um lar mais que um lar, uma perpendicular.
Convidaram os padrinhos: o poliedro e a bissetriz, e fizeram os planos, equações e diagramas...
Para o futuro, sonhando com uma felicidade integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos e foram...
Feliz até aquele dia em que tudo, afinal, vira monotonia.
Foi então que surgiu o máximo divisor comum, freqüentador de círculos concêntricos viciosos,
Ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominado comum...
Ele, quociente percebeu que com ela não formava mais um todo, uma unidade.
Era o triângulo tanto chamado amoroso desse problema,...
Ele era a fração mais ordinária.
Mas foi então que espúrio passou a ser moralidade, como, aliás,...
Em qualquer sociedade
Millôr Fernandes
segunda-feira, 12 de outubro de 2009
Quem é seu ídolo?
Se queres saber quem admira, faça este pequeno exercício:
1) Escolha um número de 1 a 9
2) Multiplique por 3
3) Some 3
4) Volte a multiplicar por 3
5) Some os dois dígitos do resultado
Agora olhe mais abaixo...
2) Multiplique por 3
3) Some 3
4) Volte a multiplicar por 3
5) Some os dois dígitos do resultado
Agora olhe mais abaixo...
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Com o resultado do cálculo, busque seu ídolo na seguinte lista:
1. Einstein
2. Nelson Mandela
3. Abraham Lincoln
4. Bill Gates
5. Obama
6. Gandhi
7. George Clooney
8. Thomas Edison
9. A pessoa que fez esse blog
10. Oprah Winfrey
Fonte: Site "Só Matematica"
domingo, 11 de outubro de 2009
Matemática - Ensino Médio - Novo Telecurso
Aqui, neste link, temos acesso direto ao Blog do Novo Telecurso de Matematica Ensino Medio, onde há 70 video aulas, esse conteúdo é muito bom não deixe de acessar.
Solução Cooperativa de Problemas: Aplicação de K-W-D-L como Técnica Organizacional
Solução Cooperativa de Problemas: Aplicação de K-W-D-L como Técnica Organizacional
A aprendizagem cooperativa continua a provar a sua eficácia em várias facetas do ensino da matemática. A aprendizagem cooperativa não só promove a realização com vários níveis e tipo de alunos (Slavin 1991), mas também os alunos trabalham juntos em grupos, a comunicação e as relações inter-pessoais são apuradas (Greenes, Schulman e Spungin 1992; AAAS 1989, 1993). Os alunos quando estão em grupos pequenos envolvem-se mais com a matéria e com os outros, do que quando estão em grupos grandes de contexto de matemática (Mulryan 1992).
Inerentes no trabalho cooperativo estão os processos valorizados, como esclarecimento, comparação e defesa de ideias, bem como as habilidades sociais de ouvir, comprometer e chegar a consenso (Rees 1990; Yackel, Cobb e Wood 1991). O trabalho do grupo colaborativo proporciona diversas oportunidades para engajar os alunos em discussão de fundo (NCTM 1989, 1991). Isto contribui para um sentido de comunidade matemática como recomendado no Everybody Counts (Conselho Nacional de Investigação de 1990).
IMPLEMENTAR A APRENDIZAGEM COOPERATIVA NA MATEMÁTICA: A pedido de professores numa Escola Profissional de Desenvolvimento (PDS) para o programa de formação de professores na Universidade de Mississippi, nós iniciamos um projecto de aprendizagem cooperativa com professores da 4ª classe e seus alunos. Nesta escola rural, os professores não tinham antes incorporado muita aprendizagem cooperativa organizada nas suas aulas de matemática, e estavam ansiosos em aprender mais sobre a aplicação efectiva de estratégias de aprendizagem cooperativa. Os alunos de duas turmas na PDS participaram regularmente nos grupos de aprendizagem cooperativa da matemática e outras disciplinas. Alunos de duas outras turmas trabalharam apenas ocasionalmente em grupos. Nas turmas em que a aprendizagem cooperativa era uma prática regular, os alunos engajavam-se na solução de problemas de matemática em grupo, duas a quatro vezes por semana. Muitas vezes, as sessões de aprendizagem cooperativa seguiam-se à introdução de tópicos em grandes grupos. Nos seus grupos, os alunos trabalhavam nos problemas de matemática, utilizando os seus manuais, exercícios da Cooperativa Learning Resource Activities (Haubner, Rathmell e Super 1992) (vide fig.1), material adaptada da AIMS (1987) (vide fig.2), situações de vida real sugeridas pelos seus professores e materiais fornecidos por pessoal universitário (vide fig.3). Nós introduzimos e revimos várias estratégias específicas de solução de problemas, tais como adivinha e verifique, faça um mapa e utilize uma imagem. Além disso, à medida em que os alunos iam iniciando, desenvolvendo e partilhando outras estratégias, estas abordagens passaram a fazer parte do repertório de estratégias de solução de problemas que existiam. Os alunos trabalhavam em grupos nos problemas, utilizando estratégias de solução de problemas; eles criavam e partilhavam também problemas idênticos de sua própria autoria. Os tipos favoritos dos alunos eram problemas lógicos e abertos desenvolvidos a partir de situações de vida quotidiana, tais como as que são mostradas na figura 4.
K-W-D-L: UMA TÉCNICA PARA ORGANIZAR E REGISTAR TRABALHOS: Para orientar o trabalho das crianças, nós fizemos uma modificação da técnica K-W-L de Ogle (1986) (fig.5). Originalmente desenvolvida para melhorar a compreensão na leitura, a técnica orienta os leitores através de medidas que leitores maduros adoptam a medida em que leem material de exposição. A técnica é amplamente utilizada para a leitura, mas também tem muito potencial para a utilização nas investigações matemáticas. As explicações de K-W-L- e as formas como isso é utilizado para a solução de problemas na matemática, apresentam-se a seguir:
K-W-D-L: UMA TÉCNICA PARA ORGANIZAR E REGISTAR TRABALHOS: Para orientar o trabalho das crianças, nós fizemos uma modificação da técnica K-W-L de Ogle (1986) (fig.5). Originalmente desenvolvida para melhorar a compreensão na leitura, a técnica orienta os leitores através de medidas que leitores maduros adoptam a medida em que leem material de exposição. A técnica é amplamente utilizada para a leitura, mas também tem muito potencial para a utilização nas investigações matemáticas. As explicações de K-W-L- e as formas como isso é utilizado para a solução de problemas na matemática, apresentam-se a seguir:
K--O QUE EU SEI: Neste passo, os leitores reflectem e discutem o que já sabem sobre um tópico. O professor alista as suas respostas e ajuda os alunos a categorizarem as informações de que já estão cientes. Em seguida, o professor ajuda os alunos a identificarem qualquer coisa, tais como conceitos erróneo possíveis que eles queiram verificar ou esclarecer a medida em que vão avançando. Para a solução de problemas matemáticos em grupo, o passo "K" envolve a leitura, o parafraseamento e a discussão do problema por parte dos alunos, para ver que informação é fornecida. Pode também incluir outras estratégias tais como encenar o problema, desenhar imagens, ou um mapa para que os alunos possam começar a compreender o problema e reconhecer o que já sabem.
W-- O QUE EU QUERO DESCOBRIR: Com a orientação do professor, os alunos identificam áreas sobre as quais eles querem aprender. Muito frequentemente eles colocam questões que ainda não foram respondidas no texto de exposição - ou levantam tópicos que ainda não foram discutidos - e devem consultar outras fontes para descobrir as suas respostas e informações. Para a solução de problemas de matemática, este passo pode simplesmente envolver um acordo a nível do grupo sobre o que é que está a ser perguntado - qual é a pergunta e o que é que significa? O passo "o que eu quero descobrir" pode também envolver os alunos na decisão de um plano para resolver o problema. Eles podem decidir que necessitam de descobrir dados e, em seguida, nas fontes desses dados. Talvez necessitarão de advinhar ou conversar com os outros, fazer medições, experiências ou consultar livros de referência.
L -- O QUE APRENDI: O "passo que aprendi" de Ogle envolve os alunos na leitura de textos silencioso e no registo das suas constatações. As suas respostas podem ser partilhadas de várias formas: Por exemplo, podem escrever sobre os factos que eles aprenderam e ler as suas respostas escritas perante os seus colegas de turma. Este passo ajuda os aprendizes a refinarem e a expandirem o seu pensamento sobre os processos de leitura e escrita.
Na solução de problemas de matemática, o passo "LL" requer que os alunos afirmem que defendem as suas respostas e que descrevam como é que trabalharam em torno do problema. Eles podem verificar o seu trabalho deixando que os outros os verifiquem, ou falarem sobre o raciocínio das suas respostas. Os grupos são também encorajados a reflectirem sobre, e escreverem em relação a, quaisquer informações gerais que poderão ter aprendido. Por exemplo, os alunos num grupo podem escrever e conversar sobre como desenhar uma imagem os ajudou e como utilizaram a estratégia de advinha e verificação.
Aos passos de Ogle, nos acrescentamos um passo "D". "O que fiz". Membros do grupo utilizaram uma folha de registo a medida em que iam trabalhando nos problemas em conjunto. Os passos "O que Sei" e "O Que Quero Saber" normalmente ajudou-os a compreenderem o problema, planificarem como resolvê-lo e avaliarem as suas respostas. As suas narrativas e notas do "O Que Fiz" ajudaram os alunos a pensar de forma consciente sobre os planos e os processos que aplicaram à medida em que iam trabalhando em conjunto sobre os problemas. O nosso passo "D" ficou em terceiro lugar, precedendo o "L", ou "O Que Aprendi".
RESULTADOS: Nós utilizamos pré e pós-testes de solução de problemas de matemática para os alunos nas duas séries de turmas. Os testes incluíram versões de dois problemas de raciocínio -- um problema de dois factores e um problema especial (fig.6). As crianças trabalharam em grupos utilizando manipulativos que eles quisessem. Nós classificamos o trabalho dos grupos utilizando a escala de classificação holísitca de Charles, Lester e O'Daffer's (1986) (fig.7). Os alunos que utilizavam a aprendizagem cooperativa nas turmas, marcaram pontos substancialmente mais elevados do que os de outras turmas. Mas também comparamos os exemplos de solução de problemas de alunos pertencentes a grupos que utilizavam a aprendizagem cooperativa na matemática com exemplos dos grupos que não o faziam. Nós vimos várias diferenças qualitativas. No geral, as respostas de alunos de aprendizagem cooperativa eram mais longas e mais detalhadas do que as dos outros alunos. Talvez os grupos acostumados a trabalhar em conjunto fossem capazes de gerar descrições mais completas do seu raciocínio do que aqueles não trabalhavam nesta base de forma regular. Em termos gerais, os alunos de grupos cooperativos faziam mapas mais detalhados; em relação ao problema especial, estes alunos eram mais susceptíveis na utilização de desenhos com mais de uma camada, do que os alunos que faziam menos trabalho de grupo.
RESULTADOS: Nós utilizamos pré e pós-testes de solução de problemas de matemática para os alunos nas duas séries de turmas. Os testes incluíram versões de dois problemas de raciocínio -- um problema de dois factores e um problema especial (fig.6). As crianças trabalharam em grupos utilizando manipulativos que eles quisessem. Nós classificamos o trabalho dos grupos utilizando a escala de classificação holísitca de Charles, Lester e O'Daffer's (1986) (fig.7). Os alunos que utilizavam a aprendizagem cooperativa nas turmas, marcaram pontos substancialmente mais elevados do que os de outras turmas. Mas também comparamos os exemplos de solução de problemas de alunos pertencentes a grupos que utilizavam a aprendizagem cooperativa na matemática com exemplos dos grupos que não o faziam. Nós vimos várias diferenças qualitativas. No geral, as respostas de alunos de aprendizagem cooperativa eram mais longas e mais detalhadas do que as dos outros alunos. Talvez os grupos acostumados a trabalhar em conjunto fossem capazes de gerar descrições mais completas do seu raciocínio do que aqueles não trabalhavam nesta base de forma regular. Em termos gerais, os alunos de grupos cooperativos faziam mapas mais detalhados; em relação ao problema especial, estes alunos eram mais susceptíveis na utilização de desenhos com mais de uma camada, do que os alunos que faziam menos trabalho de grupo.
Apoios de evidência de anedotas aumentavam atitudes positivas para alunos que utilizavam regularmente a aprendizagem cooperativa com a técnica K-W-D-L- para a solução de problemas da matemática. As crianças diziam que gostavam de trabalhar em conjunto. Elas manifestavam crescente confiança, interesse e excitação. Ouvimos declarações tais como "vamos fazer mais!" e "vamos conseguir! Podemos fazer qualquer coisa!" Os alunos pareciam estar orgulhosos quanto às suas habilidades crescentes para resolver problemas, particularmente os de raciocínio de dois factores. À medida em que iam trabalhando nesses problemas, as crianças empregavam várias estratégias, incluindo o desenho de imagens (fig.8), fazendo mapas para reflectir os dois factores (fig.9) e utilizando a advinha e verificação. À medida em que trabalhavam em grupo, os alunos sempre se lembravam de verificar, eles próprios, para garantir que as suas respostas se coadunassem com os requisitos dos problemas. As crianças eram, de forma geral, cooperativas e entusiásticas no seu trabalho. Elas aprendiam a chegar a consensos, sempre que necessário. Muitas vezes, os alunos que não concordavam com a opinião dos seus grupos, eram encorajados a escreverem os seus próprios pareceres e anexá-los aos relatórios dos grupos.
Os professores no PDS permanecem entusiásticos quanto à aprendizagem cooperativa da matemática. Eles realçam vantagens tais como um envolvimento individual maior e assunção de responsabilidade por parte dos alunos, mais no comportamento de tarefas e no desenvolvimento do orgulho e espírito de grupo. Os professores afirmam que a utilização de grupos torna as lições de matemática mais interessantes, tanto para os alunos, como para eles próprio. Eles utilizam grupos cooperativos para actividades tais como jogos e trabalhos de casa de matemática, bem como para a solução de problemas. Por vezes, os professores oferecem certificados para agradar os grupos que trabalham mais efectivamente. Eles observam que os alunos trabalham bem com ou sem reconhecimentos.
CONCLUSÃO: Fazer com que os alunos escrevam sobre as suas experiências na solução de problemas de matemática provou ser válido; o processo liga as habilidades de matemática e comunicação e estimula o raciocínio dos alunos. A utilização de K-W-D-L, como um quadro para fazer com que os grupos se iniciem na organização e documentação do seu trabalho, tem provado ser viável e efectivo. Outros professores podem escolher implementar a técnica para ajudar os alunos a considerarem os processos que utilizam à medida em que resolvem os problemas em conjunto. Os educadores podem optar por querer partilhar o processo K-W-D-L com pais e outros membros da família como uma estrutura para ajudar as suas crianças a desenvolverem habilidades de estudo e para aumentarem a sua autonomia académica.
Material Acrescentado: Jean Shaw, Martha Chambless e Debby Chessin são colegas na Universidade de Mississipi, MS 38677. Vernetta Price e Gayle Beardain ensinam na Escola Intermédia no Sul de Panola, Batesville, MS 38606. FIGURA 1 Modelo de Problemas Cooperativos das Actividades de Recursos de Ensino (Haubner, Rathmell e Super 1992) FIGURA 2 Actividade de Aprendizagem Cooperativa adaptada da AIMS (1987) FIGURA 8 Resultados da utilização da estratégia de desenho de imagens FIGURA 9 Resultados para problemas de moedas a partir da utilização de uma estratégia de mapas.
BIBLIOGRAFIA
AIMS Education Foundation. Primarily Bears.Fresno
AIMS Education Foundation. Primarily Bears.
American Association for the Advancement of Science (AAAS). Benchmarks for Science Literacy. New York : Oxford University
American Association for the Advancement of Science (AAAS). Project 2061. Washington , D.C.
Augustine, Dianne K., Kristin D. Gruber, and Lynda R. Harrison. "Cooperation Works!" Educational Leadership 47 (December -- January 1990): 4-7.
Charles, Randall, Frank Lester, and Phares O'Daffer. How to Evaluate Progress in Problem Solving. Reston , Va.
Greenes, Carole, Linda Schulman, and Rika Spungin. "Stimulations Communication in Mathematics". Arithmetic Teacher 40 (October 1992): 78-82.
Haubner, Mary Ann, Edward Rathmell, and Douglas Super. Cooperative Learning Resource Activities. Boston
Mulryan Catherine M. "Student Passivity during Small Groups in Mathematics" Journal of Educational Research 85 (May -- June 1992): 261-73.
National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston , Va.
National Research Council. Everybody Counts: A Report to the Nation on the Future of Mathematics Education. Washington , D.C. : National Academy
Ogle, Donna. "K-W-L: A Teaching Model That Develops Active Reading
Rees, Rebecca D. "Station Break: A Mathematics Game Using Cooperative Learning and Role Playing". Arithmetic Teacher 37 (April 1990): 8-12.
Slavin, Robert E. "Synthesis of Research on Cooperative Learning". Educational Leadership 48 (February 1991): 71-87.
Yackel, Erna, Paul Cobb e Terry Wood. "Small-Group Interactions as a Source of Learning Opportunities in Second-Grade Mathematics". Journal for Research in Mathematics Education 22 (November 1991): 390-408.
FIGURA 3: Problema gerado por professor: O Kenny alimenta alguns dos animais da sua fazenda. A sua mãe pergunta: "Alimentaste todos eles?" O Kenny tenta aldrabar a mãe dizendo, "contei catorze cabeças dos animais que alimentei. Contei 32 pés ". A mãe do Kenny pensou um momento. Ela sabia que Kenny alimentou algumas galinhas e alguns cavalos. Por último ela descobriu. Pode também descobrir? Releia o que o Kenny disse. Veja se pode dizer quantos cavalos e, agora, quantas galinhas é que o Kenny alimentou. Demonstre o seu trabalho.
FIGURA 4: Problema aberto e de vida quotidiana: Quer comprar alguns produtos para as últimas quatro pessoas para as últimas refeições. Deve incluir cada grupo de alimentos em cada refeição. Faça uso de publicidade de supermercados a partir do jornal. Planifique o que deverá comprar para permanecer dentro do orçamento dos 20 $EU. Calcule os custos dos artigos que pretende. Discuta como é que sabe que o seu total de aproximadamente 20 $EU. Em seguida, utilize uma calculadora para descobrir o custo real. Utilize o quadro de taxa para encontrar e acrescente a taxa que deverá pagar.
FIGURA 5: Processo modificado de K-W-L- K O que nós sabemos. W O que nós sabemos. D O que nós fizemos. L O que nós aprendemos.
FIGURA 6: Artigos tipo para testes.
1.La Toya tem 65 c no seu bolso. Ela tem um total de 11 moedas. As moedas são centavos e dimes. Quantas de cada moeda é que ela possui? Imagine-as e demonstre o seu trabalho. Diga como é que obteve a resposta. Diga como é que pensa que tem razão.
1.
2. O sr. Black está a fazer uma exposição das canecas do Dia da Mãe na loja Panola Variety. Ele deve arranjar 36 canecas As canecas estão empacotadas em contentores de presentes, tal como demonstrado. Desenhe 2 ou mais exposições que o sr. Black pode utilizar. Utilize os cubos ou outros manipulativos se desejar. Faça os seus desenhos. Diga Como resolveu o seu problema.
FIGURA 7: Escala de Ponto de Marcação Holística Focada: 0 PONTOS. Estes papeis têm uma das seguintes características:
• São limpas.
• Os dados no problema podem ser simplesmente copiados, mas nada é feito com os dados, ou há um trabalho, mas sem um aparente entendimento do problema.
• Há uma resposta incorrecta e nenhum outro trabalho é demonstrado.
1 PONTO: Estes papeis têm uma das seguintes características:
• Há um início para descobrir a solução para além de apenas copiar dados que reflectem algum entendimento, mas a abordagem utilizada não podia levar a uma solução correcta.
• Uma estratégia inapropriada é iniciada mas não levada a cabo, e não há qualquer evidência de que o aluno terá passado para uma outra estratégia. Parece que o aluno tentou uma abordagem que não funcionou e, por conseguinte, desistiu.
• O aluno tentou chegar a uma sub-meta, mas não o conseguiu.
2 PONTOS: Estes papeis têm uma das seguintes características:
• O aluno utilizou uma estratégia inapropriada e obteve uma resposta errada, mas o trabalho mostrou algum entendimento do problema.
• Uma estratégia apropriada foi utilizada, mas -- a) não foi levada a cabo suficientemente longe para chegar a uma solução (por exemplo, haviam apenas dois lançamentos numa lista organizada); b) foi implementada de forma incorrecta e, deste modo, levou à não resposta ou uma resposta incorrecta.
• São limpas.
• Os dados no problema podem ser simplesmente copiados, mas nada é feito com os dados, ou há um trabalho, mas sem um aparente entendimento do problema.
• Há uma resposta incorrecta e nenhum outro trabalho é demonstrado.
1 PONTO: Estes papeis têm uma das seguintes características:
• Há um início para descobrir a solução para além de apenas copiar dados que reflectem algum entendimento, mas a abordagem utilizada não podia levar a uma solução correcta.
• Uma estratégia inapropriada é iniciada mas não levada a cabo, e não há qualquer evidência de que o aluno terá passado para uma outra estratégia. Parece que o aluno tentou uma abordagem que não funcionou e, por conseguinte, desistiu.
• O aluno tentou chegar a uma sub-meta, mas não o conseguiu.
2 PONTOS: Estes papeis têm uma das seguintes características:
• O aluno utilizou uma estratégia inapropriada e obteve uma resposta errada, mas o trabalho mostrou algum entendimento do problema.
• Uma estratégia apropriada foi utilizada, mas -- a) não foi levada a cabo suficientemente longe para chegar a uma solução (por exemplo, haviam apenas dois lançamentos numa lista organizada); b) foi implementada de forma incorrecta e, deste modo, levou à não resposta ou uma resposta incorrecta.
3 PONTOS: Estes papeis têm uma das seguintes características:
• O aluno implementou uma estratégia de solução que poderia levar à solução correcta, mas ele entendeu mal parte do problema, ou ignorou uma condição no problema.
• Estratégias apropriadas de solução foram devidamente aplicadas mas - - a) o aluno respondeu ao problema de forma incorrecta por uma razão não aparente, b) a parte numérica correcta da resposta foi dada e a resposta não foi marcada, ou foi marcada incorrectamente; c) nenhuma resposta é dada.
• A resposta correcta foi dada, e há alguma evidência de que estratégias apropriadas de solução foram seleccionadas. Todavia, a implementação das estratégias não foi completamente clara.
• O aluno implementou uma estratégia de solução que poderia levar à solução correcta, mas ele entendeu mal parte do problema, ou ignorou uma condição no problema.
• Estratégias apropriadas de solução foram devidamente aplicadas mas - - a) o aluno respondeu ao problema de forma incorrecta por uma razão não aparente, b) a parte numérica correcta da resposta foi dada e a resposta não foi marcada, ou foi marcada incorrectamente; c) nenhuma resposta é dada.
• A resposta correcta foi dada, e há alguma evidência de que estratégias apropriadas de solução foram seleccionadas. Todavia, a implementação das estratégias não foi completamente clara.
4 PONTOS: Estes papeis têm uma das seguintes características:
• O aluno cometeu um erro ao levar a cabo a sua estratégia apropriada de solução. Porém, este erro não reflecte um mal entendido nem do problema, nem de como implementar a estratégia mas, ao invés, parece ser um erro de cópia ou de conceptualização.
• Estratégias apropriadas foram seleccionadas e implementadas. A resposta correcta foi dada em termos dos dados no problema. (de Charles, Lester e O'Daffer [1986,35]).
• O aluno cometeu um erro ao levar a cabo a sua estratégia apropriada de solução. Porém, este erro não reflecte um mal entendido nem do problema, nem de como implementar a estratégia mas, ao invés, parece ser um erro de cópia ou de conceptualização.
• Estratégias apropriadas foram seleccionadas e implementadas. A resposta correcta foi dada em termos dos dados no problema. (de Charles, Lester e O'Daffer [1986,35]).
FONTE: Ensinar Matemática às Crianças v3 p482 - 6 de maio de 1997. Reproduzido com a permissão do Ensino de Matemática a Crianças, direitos do autor 1997, pelo Conselho Nacional de Professores de Matemática. Todos os Direitos Reservados.
Quais Conseqüências Traz a Postura Docente Sobre os Alunos?
Quais Conseqüências Traz a Postura Docente Sobre os Alunos?
Eliane Casagrande Tadioto
RESUMO
Este trabalho foi apresentado ao Curso de Pedagogia, Modalidade Licenciatura, para os anos iniciais do Ensino Fundamental, ao Núcleo de Educação Aberta e a Distância do Instituo de Educação da Universidade Federal de Mato Grosso, como parte integrante do processo avaliativo da Área de Matemática.
Este trabalho foi apresentado ao Curso de Pedagogia, Modalidade Licenciatura, para os anos iniciais do Ensino Fundamental, ao Núcleo de Educação Aberta e a Distância do Instituo de Educação da Universidade Federal de Mato Grosso, como parte integrante do processo avaliativo da Área de Matemática.
INTRODUÇÃO
Nos tempos atuais, fala-se muito da atuação do professor em sala de aula. Muitos profissionais, mesmo sabendo que a sua forma de trabalho e postura em sala de aula podem acarretar conseqüências positivas ou negativas sobre seus alunos, ainda assim, se impõem sobre esses alunos de forma autoritarista. Eles não sabem que as conseqüências sobre os alunos são desastrosas, pois, a maioria deles acaba por odiar o professor, a matéria e, conseqüentemente, a escola na qual estuda.
Quando o professor assume uma postura autoritária, vê-se desfazer no aluno toda a capacidade de criação, de interação, de construção do próprio conhecimento, de levantar e comprovar hipóteses, bem como toda sua autonomia em relação aos desafios propostos. O aluno torna-se um expectador e assiste às aulas, ministradas pelo mestre supremo, como se fosse um filme, no qual o roteiro já está escrito e não pode ser mudado.
Um dos maiores desafios com o qual a escola se defronta nos dias de hoje, é o de resolver de forma efetiva, uma de suas principais metas: a de propiciar aos alunos a possibilidade de realizar algo que ainda não tenha sido feito, a de estimular a capacidade criadora dos alunos.
O modo tradicional como alguns professores se apresentam, remete ao papel da escola, a transmissão do conhecimento elaborado, visando repassar ao aluno os conhecimentos e valores acumulados pelas gerações e repassadas como verdades. Os conteúdos trabalhados por esses professores, são separados da experiência do aluno e das realidades sociais nas quais eles participam.
O método de ensino tradicionalista se baseia na exposição verbal da matéria (aula expositiva de conteúdos), na qual tanto a exposição quanto a análise são feitas pelo professor, ou seja, este expõe o conteúdo já pronto aos alunos considerando que todos são iguais, ou seja, não consideram a diversidade intelectual dos saberes existentes dentro das salas de aula.
No relacionamento desse professor com o seu aluno, predomina a autoridade do professor que exige atitude receptiva dos alunos e impede qualquer comunicação entre eles no decorrer da aula. O professor transmite o conteúdo na forma de verdade a ser absorvida. Em conseqüência, a disciplina imposta é o meio mais eficaz para assegurar a atenção e o silêncio.
Sabemos que a finalidade principal da escola é a de fazer do aluno um ser pensante e atuante na sociedade na qual está inserido. Que crie condições para que esse aluno seja autônomo quanto a construção do seu conhecimento.
Ao longo da interação professor/aluno, cabe ao primeiro mediar e ajudar o aluno na tarefa de aprender possibilitando-lhe pensar com autonomia. Para aprender, o aluno precisa ter ao seu lado alguém que o perceba nos diferentes momentos da situação de aprendizagem e que lhe ajude a evoluir durante o processo de ensino e aprendizagem, de forma a alcançar níveis os mais elevados possíveis de conhecimento.
A escola almejada por todos, visa despertar no aluno, a possibilidade de trabalhar pela democratização em todos os setores da sociedade. Assim, a educação denominada crítica, busca a luta pela transformação da sociedade, numa perspectiva de sua democratização efetiva e concreta, atingindo os aspectos políticos, sociais e econômicos.
O profissional docente tem que agir como facilitador ou mediador entre o conhecimento e o aluno. Cabe, a escola contribuir para que se elimine a seletividade social e torne a educação democrática. Agindo dessa forma estaremos contribuindo para tornar os alunos seres conscientes, pensantes e atuantes dentro da sociedade na qual participam.
Nesse contexto, trazemos para discussão: quais são as conseqüências da postura autoritarista do professor em sala sobre os alunos, porque entendemos que o papel docente pode contribuir favoravelmente ou não para que se forma um cidadão crítico.
QUAIS CONSEQÜÊNCIAS TRAZ A POSTURA DOCENTE AUTORITARISTA SOBRE OS ALUNOS?
O professor não deve ser autoritário nem alienado em sala de aula. Deve ser sujeito, ser amigo dos alunos, compreensivo e companheiro, deve ter a mentalidade aberta e acompanhar o processo de construção do conhecimento no seu aluno, agindo como agente entre os objetos do saber e a aprendizagem. Deve ser para o aluno seu decifrador de códigos e receptor de muitas linguagens.
Um professor que desempenha sua prática autoritariamente influencia sua classe à indisciplina, pois sua prática não permita aos alunos, oportunidades plenas para o seu desenvolvimento cognitivo, não permite que ele estabeleça relações entre a experiência vivenciada por ele com a teoria ensinada na escola, ou seja, ele não consegue construir o conhecimento de forma significativa. Essa prática docente não oferece condições aos alunos para que eles despertem suas potencialidades, a fim de alcançarem sua auto-realização, preparação para o trabalho e exercício da cidadania.
A idéia de professores autoritários, que agem de modo tradicionalista, em sala de aula está inserida na mentalidade dos pais, porque ocorre aos pais que os docentes têm que se ocupar com uma classe silenciosa, com os alunos calados e sentados um atrás do outro e mantendo-se longe dos professores.
Nos dias de hoje o professor tem a função de educar para o convívio familiar, além do social, conforme afirma Içami Tiba, sobre a responsabilidade que está nos ombros dos professores: “Os professores não foram capacitados para essa nova função em seus cursos de formação. Existe um descompasso entre essa capacidade e a solicitação dos pais em relação à educação dos seus filhos”, (p. 15, 1998).
Os modelos tradicionais de ensino, que modelam o professor autoritarista geram nos alunos, violência e revolta, desenvolvidas pelas pressões e frustrações inerentes a escola tradicional, sem contar que não há aprendizagem com significação quando o professor é autoritário, pois, conforme afirma Lima (p. 56, 2003):
“[...] este não dá oportunidade de seus alunos se expressarem, pois eles são adestrados e treinados para ocuparem um único lugar na sociedade, o de servos fiéis do sistema”.
É sabido que não é interessante para a cúpula política, que tenhamos cidadãos autônomos, que lutem por seus direitos exercendo a cidadania. Cabe então a escola, no papel de educadora autoritarista, reprodutora de um modelo condicionante, o de fazer com que esses futuros cidadãos, sejam adestrados desde pequenos para obedecerem ao sistema.
Quem é o professor autoritarista? Conforme nos afirma Antunes (p. 57, 2002):
| | [...] é aquele que entra na sala de aula acreditando que é o único conhecedor da verdade, despeja a matéria sem se preocupar com o que aluno já conhece sobre o assunto. Esse tipo de docente parece uma cascata de conhecimentos, não se preocupa como o aluno interpreta a informação que ele passa, ou seja, de que forma a afirmação chega até o aluno, pois, ele ignora o conhecimento de mundo que o aluno traz consigo. Ele trata a turma como se todos os alunos tivessem a mesma facilidade de aprender, ele não respeita a individualidade dos seus alunos, que faz com que nem todos aprendam da mesma maneira. |
Esse professor é metódico, e com ele não acontece interação professor/aluno. A turma que está inserida nesse contexto rende muito mal, pois as crianças submetem-se a violência desse professor que julga ter autoridade.
O sistema educacional que ainda adotamos é fruto de escolas antigas: a estrutura escolar é a mesma, e a postura do professor também. Queremos que nossas crianças, futuros cidadãos, sejam ativos, participativos, atuantes na sociedade. Desempenhando seu papel social com criticidade e responsabilidade.
Professores e professoras: Como conseguiremos fazer do nosso aluno um cidadão ativo, se o obrigamos a sentar 4 (quatro) horas (ou mais) a nos ouvir sem interrupções? Como queremos que lute por seus direitos, se quando ele ergue a mão para nos questionar ou mesmo colocar suas idéias, mandamos que ele se cale? Como poderemos ajudá-lo a brigar contra as injustiças sociais se temos medo ou vergonha de falar sobre o preconceito em sala de aula? E como serão pessoas totalmente realizadas se a escola é para elas um castigo, uma obrigação imposta pela sociedade? O que realmente deve ser mudada é a postura docente frente aos alunos.
A nós, professores e professoras, portanto, cabe contribuir para que nossos alunos imaginem, criem, analisem, inventem, para que realmente se efetive nele uma aprendizagem de qualidade. Que venha a formar um cidadão que não tenha medo de se colocar diante de uma situação que não lhe é satisfatória, criticando, opinando, se impondo.
Percebe-se, que todos os fundamentos da aprendizagem significativa e do ensino construtivista, chegam a um ponto comum: é impossível ao professor ensinar ao aluno sem resgatar os saberes e valores que estes trazem de casa. Para que este ato se concretize, é indispensável ao professor escutar seus alunos, e é indispensável ao aluno que fale ao seu professor e a seus colegas.
Quando o professor em sala de aula se coloca como autoritário, e coroa-se o rei do saber, não deixando seus alunos falarem, mantendo-os sentados em fila e copiando o conteúdo, o aluno torna-se um ser passivo, sem reação, ou muitas vezes, essa situação o leva à indisciplina.
O aluno sente-se preso, sem poder opinar e falar sobre o que pensa a respeito do assunto em pauta. É sempre mandado ficar em silêncio para não atrapalhar a aula exposta pelo professor. Isso gera no aluno uma vontade incontrolável de se rebelar, de chamar a atenção de algum modo, para que o professor acorde e o deixe falar, expressar-se, e quando não consegue a atenção necessária, acaba adquirindo problemas de indisciplina.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Devemos lembrar que autoridade e autoritarismo são palavras distintas. Devemos ter autoridade em nossa sala de aula, mas não sermos autoritários. Devemos ter firmeza ao falar com nossos alunos, mas também doçura em nossas palavras.
Lembramos aqui, que para um pleno desenvolvimento de suas capacidades intelectuais, o aluno deve ser levado a criar situações, opinar sobre um tema, construir hipóteses, defender sua opinião. Mas isso não significa que o professor deve deixar o aluno fazer tudo o que quiser. Ser amigo dos alunos, compreensivo e companheiro, não significa deixar o aluno “a Deus dará”, agindo como um professor bonzinho, manipulável.
As conseqüências que a postura docente autoritarista traz sobre os alunos são: a indisciplina, a insegurança e a timidez. Portanto, nós, professores e professoras, devemos ter a consciência de que o nosso trabalho docente em sala de aula pode construir para a formar cidadãos participativos e críticos; ou de aniquilar, ou seja, contribuir para que a sociedade tenha um cidadão passivo e não ativo diante de uma sociedade, que muitas vezes, é desigual para com seus participantes.
Finalizamos ratificando que o trabalho docente deve estar direcionado para que o aluno seja um ser resiliense, ou seja, que não cede frente às injustiças sociais. E nas frases citadas por Lima (p. 67 2003), que retrata a ação de educar de forma marcante para nós que somos profissionais incumbidos dessa missão: “[...] é flexibilizar para o inesperado, pois, assim será o porvir. É criar coragem para ousar decidir e solucionar, pois, assim exige o viver. E é ter paciência com a inconstância, pois, esta é a marca registrada da vida.”
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANTUNES, Celso. Professor bonzinho = aluno difícil. A questão da indisciplina em sala de aula. Petrópolis, RJ: Vozes 2002.
LIMA, Reginaldo Naves de Souza. Contactos Matemáticos do Primeiro Grau: ações matemáticas que educam. Fascículo 1. Cuiabá, MT: EdUFMT, 2003.
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